基于 Schwartz, Quantum Field Theory and the Standard Model, Part I (Ch.2,3,5,6,7)

核心问题：给定一个场论的 Lagrangian $\mathcal{L}$，如何系统地计算散射截面 $\sigma$ 和衰变率 $\Gamma$？

0. 总纲：从 $\mathcal{L}$ 到 $d\sigma$ 的逻辑链

QFT的第一个重要问题就是散射问题。散射问题的完整回答可以压缩为一条链： $$ \mathcal{L}[\phi,\partial_\mu\phi] \;\xrightarrow{\text{量子化 (Ch.2)}}\; \hat{\phi}(x),\; |p\rangle = a^\dagger_\mathbf{p}|0\rangle \;\xrightarrow{\text{LSZ (Ch.6)}}\; \langle f|S|i\rangle = \text{截肢关联函数} $$ $$ \xrightarrow{\text{Feynman 规则 (Ch.7)}}\; i\mathcal{M} \;\xrightarrow{\text{相空间积分 (Ch.5)}}\; d\sigma,\;\Gamma $$ 而经典场论 (Ch.3) 提供了贯穿全链的语言——Lagrangian、对称性、Green 函数。下面逐层展开。

1. Lorentz 不变性与场的量子化

1.1 Lorentz 群的表示论

QFT 的第零条公理：理论必须 Lorentz 不变。因此我们首先需要弄清楚 Lorentz 群 $SO(1,3)$ 的表示分类——它决定了"场"可以是什么。Lorentz 群的李代数由 3 个 boost 生成元 $K_i$ 和 3 个旋转生成元 $J_i$ 构成，满足 $$ [J_i, J_j] = i\epsilon_{ijk}J_k, \quad [K_i, K_j] = -i\epsilon_{ijk}J_k, \quad [J_i, K_j] = i\epsilon_{ijk}K_k. $$ 定义 $$ N_i^{\pm} = \frac{1}{2}(J_i \pm iK_i), $$ 则 $$ [N_i^+, N_j^+] = i\epsilon_{ijk}N_k^+, \quad [N_i^-, N_j^-] = i\epsilon_{ijk}N_k^-, \quad [N_i^+, N_j^-] = 0. $$ 这意味着 $\mathfrak{so}(1,3)_\mathbb{C} \cong \mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{su}(2)$。不可约表示用一对半整数 $(j^+, j^-)$ 标记：

Dirac 旋量是 $(\tfrac{1}{2},0)\oplus(0,\tfrac{1}{2})$。这一分类是 Wigner 小群分析在场层面的对应。

1.2 经典平面波 $=$ 谐振子

考虑实标量场的 Klein-Gordon 方程 $(\Box + m^2)\phi = 0$。将场做 Fourier 展开：

$$ \phi(x) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_\mathbf{k}}} \left( a_\mathbf{k}\, e^{-ik\cdot x} + a_\mathbf{k}^*\, e^{ik\cdot x} \right), \quad \omega_\mathbf{k} = \sqrt{\mathbf{k}^2 + m^2}. $$

对每个 $\mathbf{k}$ 模，$a_\mathbf{k}(t)$ 满足的运动方程就是频率为 $\omega_\mathbf{k}$ 的简谐振子方程。因此：自由 Klein-Gordon 场 $=$ 无穷多独立谐振子的集合。 这是场量子化的出发点。

1.3 二次量子化（正则量子化）

对每个模施加量子化：将 $a_\mathbf{k}, a_\mathbf{k}^*$ 提升为算符，并要求正则对易关系 $$ [a_\mathbf{k}, a^\dagger_{\mathbf{k}'}] = (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\mathbf{k} - \mathbf{k}'), $$ 等价于等时对易关系 $$ [\phi(\mathbf{x},t),\, \pi(\mathbf{y},t)] = i\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y}), \quad \pi = \dot{\phi}. $$ 由此得到 Fock 空间的构造：

• 真空态 $|0\rangle$：$a_\mathbf{k}|0\rangle = 0,\;\forall \mathbf{k}$
• 单粒子态：$|\mathbf{k}\rangle = \sqrt{2\omega_\mathbf{k}}\, a^\dagger_\mathbf{k}|0\rangle$（Lorentz 不变归一化 $\langle \mathbf{k}|\mathbf{k}'\rangle = 2\omega_\mathbf{k}(2\pi)^3\delta^{(3)}(\mathbf{k}-\mathbf{k}')$）
• 多粒子态：$a^\dagger_{\mathbf{k}_1}\cdots a^\dagger_{\mathbf{k}_n}|0\rangle$
• Hamiltonian：$H = \int \dfrac{d^3k}{(2\pi)^3}\, \omega_\mathbf{k}\, a^\dagger_\mathbf{k} a_\mathbf{k} + (\text{零点能})$

关键点：量子化后的场算符 $\hat{\phi}(x)$ 同时包含产生与湮灭算符，因此可以在时空中产生和消灭粒子——这是量子力学做不到的，是 QFT 区别于单粒子量子力学的根本所在。

2. 经典场论的语言 (Ch.3)

量子化之前，先把经典场论的框架建立完整。这一章提供的工具贯穿 QFT 始终。

2.1 作用量原理与 Euler-Lagrange 方程

给定 Lagrangian 密度 $\mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi)$，作用量为 $$ S[\phi] = \int d^4x\, \mathcal{L}(\phi, \partial_\mu\phi). $$ $\delta S = 0$ 给出 Euler-Lagrange 方程： $$ \partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = 0. $$ 例如，$\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2$ 给出 Klein-Gordon 方程 $(\Box + m^2)\phi = 0$；$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ 给出 Maxwell 方程。共轭动量密度 $\pi(x) = \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}(x)}$，Hamiltonian 密度 $\mathcal{H} = \pi\dot{\phi} - \mathcal{L}$。

2.2 Noether 定理

定理：若作用量在连续变换 $\phi \to \phi + \epsilon\,\delta\phi$ 下不变（至多差一个全散度），则存在守恒流 $$ j^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi - K^\mu, \qquad \partial_\mu j^\mu = 0, $$ 其中 $K^\mu$ 是使得 $\delta\mathcal{L} = \epsilon\,\partial_\mu K^\mu$ 的项。对应的守恒荷 $Q = \int d^3x\, j^0$ 满足 $dQ/dt = 0$。 核心应用：

Noether 定理的量子版本：守恒荷成为 Fock 空间上的算符，Ward 恒等式约束关联函数的结构。

2.3 Coulomb 定律与传播子的预演

对于有源 Klein-Gordon 方程 $(\Box + m^2)\phi = J(x)$，其解可写为 $$ \phi(x) = \int d^4y\, G(x-y)\, J(y), $$ 其中 Green 函数 $G$ 满足 $(\Box + m^2)G(x) = \delta^4(x)$。在静态情形 $J(\mathbf{x}) = \delta^{(3)}(\mathbf{x})$ 下：

• $m = 0$（无质量标量/光子）：$G(\mathbf{x}) \propto \dfrac{1}{|\mathbf{x}|}$ → Coulomb 势。
• $m \neq 0$（有质量介质子）：$G(\mathbf{x}) \propto \dfrac{e^{-mr}}{r}$ → Yukawa 势。

这预示了量子理论中的核心对象：Feynman 传播子就是这个 Green 函数的量子对应。

2.4 Green 函数的边界条件

经典 Green 函数的选取取决于边界条件。常见的有推迟 Green 函数（因果性）和超前 Green 函数。在 QFT 中，Feynman 处方选取的是一种特殊的边界条件——正频部分向前传播，负频部分向后传播——这不等于任何一种经典因果 Green 函数，但恰好是 $T$-乘积自然给出的。动量空间中的区别体现在极点回避方式上（$i\epsilon$ 处方），详见 Ch.6。

3. 可观测量：截面与衰变率 (Ch.5)

3.1 从 $S$-矩阵到 $\mathcal{M}$

$S$-矩阵的定义。 散射理论的核心对象是 $S$-矩阵，它将 $t \to -\infty$ 的自由入射态（in 态）映射到 $t \to +\infty$ 的自由出射态（out 态）： $$ |f;\,\text{out}\rangle = S |f;\,\text{in}\rangle. $$ 散射振幅即为 $\langle f;\,\text{out} | i;\,\text{in} \rangle = \langle f | S | i \rangle$，其中 $|i\rangle, |f\rangle$ 均为自由 Fock 态。

$S = \mathbb{1} + iT$ 的分解。 $S$-矩阵包含"什么都没发生"的恒等部分和真正的散射部分。定义 $T$-矩阵： $$ S = \mathbb{1} + iT. $$ $\langle f|i\rangle$ 对应无散射（粒子径直穿过），物理上有趣的是 $\langle f|iT|i\rangle$（$f \neq i$）。

四动量守恒的分离。 对任何平移$a^\mu$，$S$-矩阵的平移不变性意味着 $$ \langle \beta | T | \alpha \rangle = \langle \beta | e^{iP\cdot a} T \, e^{-iP\cdot a} | \alpha \rangle=e^{i(p_\beta - p_\alpha)\cdot a} \langle \beta | T | \alpha \rangle $$ 因此 $T$-矩阵元必然包含一个 $\delta$-函数。我们将其显式分离出来，定义不变振幅 $\mathcal{M}$： $$ \langle f|T|i\rangle = (2\pi)^4 \delta^{(4)}(p_i - p_f)\, \mathcal{M}(i \to f). $$

从 $\mathcal{M}$ 到跃迁概率。 跃迁概率形式上为 $|\langle f|iT|i\rangle|^2$，但 $\delta$-函数的平方无意义。我们这样解决：将系统放在一个空间体积$V$、时间长度$T$的盒子中。$\delta$函数的定义是 $$ \delta^{(4)}(p) = \int \frac{d^4x}{(2\pi)^4} \, e^{ip\cdot x} $$ 当$p = 0$时： $$ (2\pi)^4 \delta^{(4)}(0) = \int d^4x = VT $$ 因此$\delta$函数平方的正则化为： $$ \left[(2\pi)^4 \delta^{(4)}(p_\alpha - p_\beta)\right]^2 \to (2\pi)^4 \delta^{(4)}(p_\alpha - p_\beta) \cdot VT $$ 单位时间跃迁概率（跃迁速率）为 $$ \dot{P}(\alpha \to \beta) = \frac{P}{T} = (2\pi)^4 \delta^{(4)}(p_\alpha - p_\beta) \, |\mathcal{M}|^2 \cdot V $$

通量因子与截面。 对 $2 \to n$ 散射，将上式除以入射通量（单位面积单位时间的入射粒子数），并对末态相空间积分，得到微分截面 $$ d\sigma = \frac{|\mathcal{M}|^2}{F} \, d\Pi_{\text{LIPS}}, $$ 通量因子在一般参考系下为 $$ F = 4E_1 E_2 |v_1 - v_2| = 4\sqrt{(p_1 \cdot p_2)^2 - m_1^2 m_2^2}, $$ 后一个表达式是 Lorentz 不变的。在质心系中简化为 $F = 4|\mathbf{p}_{\text{cm}}|\sqrt{s}$。

Lorentz 不变相空间 (LIPS)。 $$ d\Pi_{\text{LIPS}} = (2\pi)^4 \delta^{(4)}\!\left(\sum p_i - \sum k_j\right) \prod_{j=1}^{n} \frac{d^3k_j}{(2\pi)^3\, 2E_{k_j}}. $$ 每个末态粒子贡献一个 Lorentz 不变的积分测度 $\dfrac{d^3k}{(2\pi)^3 2E_k}$（这正是质壳上的 Lorentz 不变测度 $\int \dfrac{d^4k}{(2\pi)^4}\,2\pi\delta(k^2 - m^2)\theta(k^0)$）。

$2 \to 2$ 的特殊情形。 在质心系中，末态两粒子的三动量完全由散射角 $(\theta,\varphi)$ 和能量守恒确定，相空间积分化为 $$ \frac{d\sigma}{d\Omega}\bigg|_{\text{CM}} = \frac{|\mathcal{M}|^2}{64\pi^2 s} \cdot \frac{|\mathbf{k}_f|}{|\mathbf{p}_i|}. $$

3.2 衰变率

对单粒子衰变 $P \to \{k_1, \ldots, k_n\}$： $$ d\Gamma = \frac{|\mathcal{M}|^2}{2M} \, d\Pi_{\text{LIPS}}, $$ 其中 $M$ 是衰变粒子的质量（静止系）。粒子寿命 $\tau = 1/\Gamma$。

3.3 非相对论极限与分波展开

在非相对论极限 $E \approx m + \frac{p^2}{2m}$ 下，上述框架回到量子力学中的散射理论。散射振幅可以做分波展开： $$ f(\theta) = \sum_{\ell=0}^{\infty} (2\ell+1) f_\ell\, P_\ell(\cos\theta), \quad f_\ell = \frac{e^{2i\delta_\ell} - 1}{2ik}, $$ 截面 $\dfrac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta)|^2$，总截面 $\sigma = \dfrac{4\pi}{k^2}\sum_\ell (2\ell+1)\sin^2\delta_\ell$。分波展开的意义在于将散射问题分解到每个角动量通道：每个 $\ell$ 对应一个独立的一维散射问题，$S_\ell = e^{2i\delta_\ell}$ 的幺正性 $|S_\ell| \leq 1$（等号对应弹性散射、不等号对应有吸收）直接给出光学定理。这套框架在弯曲时空的散射理论中同样成立——只需将径向 Schrödinger 方程替换为相应背景上的径向波动方程。

3.4 示例：$e^+e^- \to \mu^+\mu^-$

QED 中的树级过程，仅有 $s$-道光子交换。自旋求和/平均后： $$ \overline{|\mathcal{M}|^2} = \frac{1}{4}\sum_{\text{spins}}|\mathcal{M}|^2 = \frac{e^4}{s^2}\,\text{Tr}[(\not\!{p}_1 - m_e)\gamma^\mu(\not\!{p}_2 + m_e)\gamma^\nu]\,\text{Tr}[(\not\!{k}_1 + m_\mu)\gamma_\mu(\not\!{k}_2 - m_\mu)\gamma_\nu]. $$ 在 $s \gg m_\mu^2$ 极限下化简为 $$ \overline{|\mathcal{M}|^2} = e^4(1 + \cos^2\theta), \quad \frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{\alpha^2}{4s}(1 + \cos^2\theta), $$ 总截面 $\sigma = \frac{4\pi\alpha^2}{3s}$。这是 QFT 产生的第一个可与实验对比的预言。

4. LSZ 约化公式与传播子 (Ch.6)

4.1 核心问题

Ch.5 告诉我们一切归结于计算 $\mathcal{M}$。问题是：给定一个相互作用的 QFT，如何从 Lagrangian 出发系统地得到 $\mathcal{M}$？ LSZ 约化公式给出的答案是：散射振幅 $=$ 编时关联函数的截肢 Fourier 变换。

4.2 LSZ 公式的陈述

对标量场论中的 $n \to m$ 散射， $$ \langle k_1 \cdots k_m | S | p_1 \cdots p_n \rangle_{\text{connected}} $$ $$ = \prod_{i=1}^{n} \frac{i(\not\!{p}_i^2 - m^2)}{\sqrt{Z}} \prod_{j=1}^{m} \frac{i(k_j^2 - m^2)}{\sqrt{Z}} \; \widetilde{G}^{(n+m)}(p_1,\ldots,p_n; -k_1,\ldots,-k_m), $$ 其中 $\widetilde{G}^{(n+m)}$ 是完全（相互作用的）$(n+m)$-点编时关联函数 $$ G^{(N)}(x_1,\ldots,x_N) = \langle \Omega | T\{\phi(x_1)\cdots\phi(x_N)\} | \Omega \rangle $$ 的 Fourier 变换，$|\Omega\rangle$ 是完全的相互作用真空，$Z$ 是场强重整化因子。

物理含义：

• 编时乘积 $T\{\cdots\}$ 自动实现了因果排序；
• 各外腿上的因子 $(p^2 - m^2)$ 恰好"截肢"掉了外线传播子（这些外线对应于渐近自由粒子）；
• 因此：$i\mathcal{M} =$ 截肢的、连通的编时关联函数，在外腿动量取在壳 $p^2 = m^2$ 的极限下取值。

4.3 Feynman 传播子

编时关联函数中最基本的是两点函数： $$ D_F(x-y) = \langle 0 | T\{\phi(x)\phi(y)\} | 0\rangle = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon}\, e^{-ip\cdot(x-y)}. $$ 这就是 Feynman 传播子。动量空间中： $$ \widetilde{D}_F(p) = \frac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon}. $$ $i\epsilon$ 处方的意义：

• 数学上：规定了 $p^0$ 积分的极点回避方式。$p^0 = \pm\omega_\mathbf{p}$ 处的极点被推移到 $p^0 = \pm(\omega_\mathbf{p} - i\epsilon)$，使得正频成分向未来传播、负频成分向过去传播。
• 物理上：粒子向前传播，反粒子向后传播——这正是 Feynman-Stückelberg 解释。
• 与经典的联系：Feynman 传播子 $\neq$ 推迟/超前 Green 函数，而是它们的特定线性组合，也就是 $D_F = \theta(t)D_R + \theta(-t)D_A$（对自由场）。

4.4 从 LSZ 到 Feynman 图的桥梁

LSZ 告诉我们一切归结于计算 $\langle\Omega|T\{\phi(x_1)\cdots\phi(x_N)\}|\Omega\rangle$。那么下一个问题是：如何在有相互作用时系统地展开这个量？答案由 Ch.7 给出——Wick 定理 + Feynman 规则。但在进入具体规则之前，有必要先理解其背后的算子结构。

5. 传播子作为算子求逆：Feynman 规则的代数本质

5.0 核心思想：$\mathcal{M}$ 的计算本质上是算子求逆

这是理解 Feynman 规则"为什么是这样"的关键。让我们从路径积分的角度严格地看这件事。

自由场的路径积分与算子求逆。 考虑自由标量场 $\mathcal{L}_0 = \frac{1}{2}\phi(\Box + m^2)\phi$（分部积分后）。其路径积分是一个无穷维 Gauss 积分。定义动力学算子 $$ D = -(\Box + m^2), $$ 则自由作用量（Euclid 化后）为 $S_0 = -\frac{1}{2}\int \phi\, D\, \phi$。自由场的生成泛函为 $$ Z_0[J] = \int \mathcal{D}\phi\, \exp\!\left(iS_0 + i\int J\phi\right) \propto \exp\!\left(-\frac{i}{2}\int J\, D^{-1} J\right), $$ 这就是 Gauss 积分公式 $\int d^n x\, e^{-\frac{1}{2}x^T A x + J^T x} \propto e^{\frac{1}{2}J^T A^{-1} J}$ 的无穷维推广。关键的一步是：生成泛函的指数中出现的是动力学算子 $D$ 的逆——而 $D^{-1}$ 在动量空间中恰好就是 Feynman 传播子： $$ D^{-1}(x,y) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon}\, e^{-ip\cdot(x-y)} = D_F(x-y). $$ 换言之，传播子 $\dfrac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon}$ 不是一个"凭空写下的规则"，而是自由场动力学算子 $-(\Box + m^2)$ 在动量空间中的逆。$i\epsilon$ 处方选择了逆的边界条件（Feynman 边界条件）。

加入相互作用：微扰展开的代数结构。 现在考虑完整的 Lagrangian $\mathcal{L} = \mathcal{L}_0 + \mathcal{L}_{\text{int}}$。以 $\phi^4$ 理论 $\mathcal{L}_{\text{int}} = -\dfrac{\lambda}{4!}\phi^4$ 为例。完整的路径积分为 $$ Z[J] = \int \mathcal{D}\phi\, e^{i\int(\mathcal{L}_0 + \mathcal{L}_{\text{int}} + J\phi)}. $$ 微扰论的策略是将 $e^{iS_{\text{int}}}$ 按 $\lambda$ 的幂次 Taylor 展开： $$ Z[J] = \exp\!\left(i\int \mathcal{L}_{\text{int}}\!\left[\frac{1}{i}\frac{\delta}{\delta J}\right] d^4x\right) Z_0[J]. $$ 这意味着：每个相互作用顶点 $\mathcal{L}_{\text{int}}$ 通过对 $J$ 的泛函微分作用于 $Z_0[J]$，而 $Z_0[J]$ 的结构（Gauss 积分的结果）保证了每次泛函微分从指数中拉下一个 $D^{-1} = D_F$。因此：

Feynman 规则的算子起源：Feynman 图中的每条内线（传播子）$= D^{-1}$（动力学算子的逆），每个顶点 $=$ 相互作用 Lagrangian $\mathcal{L}_{\text{int}}$ 中的耦合系数。Feynman 图的求和本质上是对算子方程 $(D - V)\phi = J$ 的形式解做 Born-级数展开：

$$ > (D - V)^{-1} = D^{-1} + D^{-1} V D^{-1} + D^{-1} V D^{-1} V D^{-1} + \cdots > $$

每一项对应一个确定阶数的 Feynman 图：$D^{-1}$ 是自由传播子，$V$ 是顶点插入，级数的第 $n$ 项包含 $n$ 个顶点。

对费米子和规范玻色子的推广。 同样的逻辑适用于所有场：

• Dirac 场：动力学算子为 $D_\psi = i\not\!\partial - m$，其逆为 $D_\psi^{-1} = \dfrac{i(\not\!{p} + m)}{p^2 - m^2 + i\epsilon}$（费米子传播子）。
• 光子场（Feynman 规范）：动力学算子为 $D_A^{\mu\nu} = -\Box\, g^{\mu\nu}$，其逆为 $\dfrac{-ig_{\mu\nu}}{q^2 + i\epsilon}$。

每种场的传播子都是其自由运动方程对应的微分算子之逆。这是一个统一的原理，而非需要逐一记忆的规则。

6. Feynman 规则：计算 $\mathcal{M}$ 的系统方法 (Ch.7)

6.1 两条推导路径

Feynman 规则可以从两条独立的路径推导出来：

路径 A：Lagrangian / 路径积分 (§7.1) 关联函数可以表示为路径积分

$$ \langle\Omega|T\{\phi(x_1)\cdots\phi(x_N)\}|\Omega\rangle = \frac{\int \mathcal{D}\phi\, \phi(x_1)\cdots\phi(x_N)\, e^{iS[\phi]}}{\int \mathcal{D}\phi\, e^{iS[\phi]}}. $$

将作用量分为自由部分和相互作用部分 $S = S_0 + S_{\text{int}}$，对 $e^{iS_{\text{int}}}$ 做 Taylor 展开，利用自由场路径积分的 Gauss 积分公式（即 Wick 定理），得到微扰展开。

路径 B：Hamiltonian / 相互作用绘景 (§7.2) 在相互作用绘景中，场算符按自由 Hamiltonian 演化，态矢量按相互作用 Hamiltonian 演化：

$$ |\psi(t)\rangle_I = U(t, t_0)|\psi(t_0)\rangle_I, \quad U(t, t_0) = T\exp\!\left(-i\int_{t_0}^{t} H_{\text{int}}(t')\,dt'\right). $$

利用 Gell-Mann–Low 定理，可以将完全真空 $|\Omega\rangle$ 与自由真空 $|0\rangle$ 联系起来，从而把相互作用关联函数展开为自由场算符的编时乘积的真空期望值。

两条路径给出完全相同的结果：微扰展开的每一项都可以用 Feynman 图表示。

6.2 Wick 定理与 Normal Ordering

正规序 (Normal ordering)：将所有 $a^\dagger$ 排到 $a$ 左边，记为 $:\!\mathcal{O}\!:$。正规序的真空期望值为零：$\langle 0|:\!\mathcal{O}\!:|0\rangle = 0$。

Wick 收缩：定义两个场算符的收缩为 $$ \phi(x)\phi(y) \;\text{（收缩）} \;= T\{\phi(x)\phi(y)\} - :\!\phi(x)\phi(y)\!: \;= D_F(x-y). $$ Wick 定理： $$ T\{\phi(x_1)\cdots\phi(x_N)\} = :\!\phi(x_1)\cdots\phi(x_N)\!: + \sum_{\text{所有可能的收缩}} :\!\text{未收缩的场}\!: \times \prod D_F. $$ 取真空期望值后，只有完全收缩（没有未收缩场剩余）的项存活。因此： $$ \langle 0|T\{\phi(x_1)\cdots\phi(x_N)\}|0\rangle = \sum_{\text{完全收缩}} \prod D_F(x_i - x_j). $$ Feynman 图就是对完全收缩的图形化表示：每条收缩对应一条内线（传播子），每个相互作用顶点来自 $H_{\text{int}}$ 的展开。

6.3 动量空间 Feynman 规则

对标量 $\phi^4$ 理论 $\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{\lambda}{4!}\phi^4$ 为例： 规则（动量空间，计算 $i\mathcal{M}$）：

1. 外线：每条在壳外线不写传播子（已被 LSZ 截肢），仅贡献因子 $1$（标量场）。
2. 内线（传播子）：动量为 $p$ 的每条内线贡献

$$ \frac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon}. $$

1. 顶点：每个四点顶点贡献 $-i\lambda$，并要求该顶点处四动量守恒。
2. 圈动量积分：每个独立圈动量 $\ell$ 贡献一个积分 $\int \frac{d^4\ell}{(2\pi)^4}$。
3. 对称因子：除以图的对称因子 $S$（交换同类内线或顶点而不改变图的拓扑的置换数）。

对 QED $\mathcal{L}_{\text{int}} = -e\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A_\mu$，规则修改为：

• 内费米子线：$\frac{i(\not\!{p} + m)}{p^2 - m^2 + i\epsilon}$
• 内光子线：$\frac{-ig_{\mu\nu}}{q^2 + i\epsilon}$（Feynman 规范）
• QED 顶点：$-ie\gamma^\mu$
• 外线：入射/出射费米子带 $u(p)/\bar{u}(p)$（粒子）或 $v(p)/\bar{v}(p)$（反粒子），光子带偏振矢量 $\epsilon^\mu(k)$
• 每个闭合费米子圈带一个额外因子 $(-1)$

6.4 树图 vs. 圈图

• 树图（无圈）：$\mathcal{M}$ 的领头阶 (leading order, LO)，不含 $\hbar$（经典近似）。
• 单圈图：次领头阶 (NLO)，含一个 $\int d^4\ell$ 积分——通常发散，需要重整化（Part II-III 的内容）。

树图层面已经可以给出大量有物理意义的预言（如 $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$ 的截面），这正是 Part I 的目标。

7. 完整示例：$\phi^4$ 理论中的 $2\to 2$ 树级散射

作为全链条的演练，考虑 $\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial\phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4$ 中的 $\phi\phi \to \phi\phi$ 散射。

Step 1: 画 Feynman 图。 树级只有一个接触项图（四点顶点），无传播子。

Step 2: 写 $i\mathcal{M}$。 规则直接给出 $i\mathcal{M} = -i\lambda$，即 $\mathcal{M} = -\lambda$（常数，与角度无关）。

Step 3: 计算截面。 利用 $2\to 2$ 公式（等质量情形 $|\mathbf{k}_f| = |\mathbf{p}_i|$）：

$$ \frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{\lambda^2}{64\pi^2 s}, \quad \sigma = \frac{\lambda^2}{16\pi s}. $$ 这是各向同性的（$s$-波散射占主导），截面随能量增长而下降（$\sigma \propto 1/s$）。

8. 逻辑总结与向 Part II 的过渡

Part I 建立了如下完整的计算框架： $$ \boxed{\mathcal{L}} \;\xrightarrow[\text{Ch.2: 表示论 + Fock 空间}]{\text{对称性 + 量子化}}\; \boxed{\hat{\phi},\, a^\dagger, a,\, |0\rangle} $$ $$ \xrightarrow[\text{Ch.6: LSZ}]{\text{散射 → 关联函数}}\; \boxed{\langle\Omega|T\{\phi\cdots\phi\}|\Omega\rangle} \;\xrightarrow[\text{Ch.7: Wick + Feynman}]{\text{微扰展开}}\; \boxed{i\mathcal{M} = \sum_{\text{Feynman 图}}} $$ $$ \xrightarrow[\text{Ch.5: 相空间}]{\text{运动学}}\; \boxed{d\sigma,\;\Gamma} $$ 而经典场论 (Ch.3) 始终在底层提供 Lagrangian、Noether 定理、Green 函数等语言支撑。

Part I 尚未解决的问题——也是 Part II/III 的主题：

• 圈图积分的紫外发散 → 重整化。
• 从标量场推广到旋量场和规范场 → QED, QCD。
• 规范对称性的自发破缺 → Higgs 机制。
• 非微扰效应（禁闭、瞬子等）。

但就 Part I 的树级框架而言，从 $\mathcal{L}$ 到 $d\sigma$ 的逻辑链已经完整闭合。