2.1 范畴与态射

一个范畴 $\mathcal{C}$ 由以下数据组成：

• 一族对象 $\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$
• 对每一对对象 $A, B$，一个态射集 $\mathrm{Hom}(A, B)$
• 态射的复合：$g \circ f: A \to C$（其中 $f: A \to B$, $g: B \to C$）
• 每个对象的恒等态射 $\mathrm{id}_A: A \to A$

满足结合律 $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ 和恒等律 $f \circ \mathrm{id}_A = f = \mathrm{id}_B \circ f$ ；基本概念：

• 单态射（mono）：左可消，$f \circ g_1 = f \circ g_2 \Rightarrow g_1 = g_2$
• 满态射（epi）：右可消，$g_1 \circ f = g_2 \circ f \Rightarrow g_1 = g_2$
• 同构：存在逆态射，$f \circ g = \mathrm{id}$ 且 $g \circ f = \mathrm{id}$

2.2 函子与自然变换

协变函子

一个 （协变）函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 包含：

• 对象层：$A \mapsto F(A)$
• 态射层：$(f: A \to B) \mapsto (F(f): F(A) \to F(B))$

保持结构：$F(\mathrm{id}_A) = \mathrm{id}_{F(A)}$，$F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$。

反变函子

反变函子翻转箭头方向：

$$A \xrightarrow{f} B \quad \Longrightarrow \quad F(B) \xrightarrow{F(f)} F(A)$$

保持结构的条件也相应改变：$F(g \circ f) = F(f) \circ F(g)$（复合顺序反了）。统一视角：反变函子 $\mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 就是协变函子 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{D}$，其中 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ 是把 $\mathcal{C}$ 所有箭头反向得到的对偶范畴。

"$-$"是占位符，表示空着一个变元。$\mathrm{Hom}(X, Y)$ 有两个变元，固定一个、让另一个变动，就得到一个函子：

• $\mathrm{Hom}(-, A)$：固定第二个变元为 $A$，让第一个变动。
• $\mathrm{Hom}(A, -)$：固定第一个变元为 $A$，让第二个变动。

最重要的反变函子例子

对偶空间：$V \mapsto V^* = \mathrm{Hom}(V, k)$。给线性映射 $f: V \to W$，定义 $f^*: W^* \to V^*$ 为 $f^*(\varphi) = \varphi \circ f$。方向反了，复合顺序也反了：$(g \circ f)^* = f^* \circ g^*$。 Hom 函子 $\mathrm{Hom}(-, A)$：给 $f: X \to Y$，定义预复合 $f^*: \mathrm{Hom}(Y, A) \to \mathrm{Hom}(X, A)$，$g \mapsto g \circ f$。方向反了，所以是反变的。对比 $\mathrm{Hom}(A, -)$ 是协变的。给 $f: X \to Y$，后复合 $f_*: \mathrm{Hom}(A, X) \to \mathrm{Hom}(A, Y)$，$g \mapsto f \circ g$，方向保持一致。

自然变换

设 $F, G: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 是两个函子。一个自然变换 $\eta: F \Rightarrow G$ 是一族态射 $\{\eta_A: F(A) \to G(A)\}_{A \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})}$，使得对任何 $f: A \to B$，下图交换： $$\eta_B \circ F(f) = G(f) \circ \eta_A$$ 自然变换是对所有对象"同时、统一地"从 $F$ 变到 $G$，交换图保证这个变换和所有态射兼容——不依赖于任何选择。如果每个 $\eta_A$ 都是同构，则 $\eta$ 是自然同构，记 $F \cong G$。

2.3 函子范畴

给定 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$，定义函子范畴 $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$：

• 对象：所有函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$
• 态射：自然变换 $\eta: F \Rightarrow G$
• 复合：逐分量复合，$(\mu \circ \eta)_A = \mu_A \circ \eta_A$
• 恒等：$(\mathrm{id}_F)_A = \mathrm{id}_{F(A)}$

意义：范畴论是自指的——函子和自然变换本身又构成范畴。

特殊情况：$[\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set}]$ 叫 $\mathcal{C}$ 上的预层范畴。每个对象 $A$ 通过 $h_A = \mathrm{Hom}(-, A)$ 给出预层范畴的一个对象（米田嵌入的雏形）。

2.4 泛性质(Universal Property)

核心思想

不通过内部构造定义对象，而是通过它和所有其他对象的关系来刻画它。关键词：存在唯一（$\exists$）。

一个对象 $U$（加上结构态射）满足泛性质 $:=$ 对任何其他满足类似条件的对象 $X$，存在唯一的态射连接 $X$ 和 $U$，使得一切兼容。

积（Product）

$A$ 和 $B$ 的积 $A \times B$ 配备投影 $\pi_1: A \times B \to A$，$\pi_2: A \times B \to B$，使得：对任何 $X$ 和 $f: X \to A$, $g: X \to B$，存在唯一的 $h: X \to A \times B$，使得 $\pi_1 \circ h = f$, $\pi_2 \circ h = g$。

        X
       /|\
      f | g
     /  |  \
    v   v   v
    A ← P → B
      π₁   π₂

$X$ 有两条路分别到 $A$ 和 $B$，泛性质说它们唯一地经过 $P$ 统一起来。

余积（Coproduct）

箭头全部反向。$A \sqcup B$ 配备嵌入 $\iota_1: A \to A \sqcup B$, $\iota_2: B \to A \sqcup B$，使得：

对任何 $X$ 和 $f: A \to X$, $g: B \to X$，存在唯一的 $h: A \sqcup B \to X$，使得 $h \circ \iota_1 = f$, $h \circ \iota_2 = g$。

泛性质保证唯一性（up to unique isomorphism）

若 $P$ 和 $P'$ 都满足同一个泛性质，互相用泛性质得到 $\phi: P \to P'$ 和 $\psi: P' \to P$，由唯一性 $\psi \circ \phi = \mathrm{id}_P$, $\phi \circ \psi = \mathrm{id}_{P'}$，所以 $P \cong P'$。这个论证是范畴论的"标准套路"。

2.5 可表函子与米田引理

可表函子

函子 $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}$ 称为可表的，如果存在 $A \in \mathcal{C}$ 和自然同构 $F \cong \mathrm{Hom}(-, A)$。此时 $A$ 叫 $F$ 的表示对象。泛性质就是在说某个函子可表。例如积的泛性质等价于 $$ X \mapsto \mathrm{Hom}(X, A) \times \mathrm{Hom}(X, B) \cong \mathrm{Hom}(X, A \times B) $$

米田引理

定理：设 $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}$，$A \in \mathcal{C}$，则 $$\mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}(-, A),\; F) \cong F(A)$$

其中 $\mathrm{Nat}(-, -)$ 就是函子范畴中的 Hom 集（自然变换的集合），且此双射对 $A$ 和 $F$ 自然。 朴素理解：

1. 对象被其 Hom 函子完全决定。$h_A = \mathrm{Hom}(-, A)$ 是"$A$ 的完整探测档案"——对每个 $X$，记录从 $X$ 到 $A$ 的所有态射。米田嵌入的全忠实性说这份档案没有信息损失。
2. 从 Hom 函子出发的自然变换由一个元素唯一决定。因为 $\mathrm{id}_A \in \mathrm{Hom}(A, A)$ 是"万能探针"，任何 $f \in \mathrm{Hom}(X, A)$ 都是 $\mathrm{id}_A$ 的预复合。所以一旦指定 $\xi = \eta_A(\mathrm{id}_A) \in F(A)$，自然性就唯一确定了所有其他分量：$\eta_X(f) = F(f)(\xi)$。

双射的具体构造：

• 正方向 $\eta \mapsto \eta_A(\mathrm{id}_A) \in F(A)$
• 反方向 $\xi \mapsto (\eta_X(f) := F(f)(\xi))$
• 验证互逆：先正后反 $F(\mathrm{id}_A)(\xi) = \xi$；先反后正由自然性条件保证 $\eta' = \eta$。

米田嵌入

取 $F = \mathrm{Hom}(-, B)$，米田引理给出 $$\mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}(-, A),\; \mathrm{Hom}(-, B)) \cong \mathrm{Hom}(A, B)$$ 即函子 $\mathbf{y}: \mathcal{C} \to [\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set}]$, $A \mapsto \mathrm{Hom}(-, A)$ 是全忠实的。也就是说一个对象完全由它与所有其他对象的关系决定。

2.6 伴随函子

定义

$F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 和 $G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ 构成伴随对 $F \dashv G$（$F$ 左伴随，$G$ 右伴随），如果存在自然同构 $$\mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(F(A),\; B) \cong \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,\; G(B))$$ 对所有 $A \in \mathcal{C}$, $B \in \mathcal{D}$ 成立。记忆法：$F$ 出现在 Hom 的左边 → 左伴随；$G$ 出现在右边 → 右伴随。

单位与余单位

伴随 $F \dashv G$ 自带两个自然变换：

• 单位 $\eta: \mathrm{Id}_{\mathcal{C}} \Rightarrow GF$：取 $B = F(A)$，$\mathrm{id}_{F(A)}$ 对应到 $\eta_A: A \to GF(A)$
• 余单位 $\varepsilon: FG \Rightarrow \mathrm{Id}_{\mathcal{D}}$：取 $A = G(B)$，$\mathrm{id}_{G(B)}$ 对应到 $\varepsilon_B: FG(B) \to B$

满足三角恒等式（zig-zag identities）： $$\varepsilon_{F(A)} \circ F(\eta_A) = \mathrm{id}_{F(A)}, \qquad G(\varepsilon_B) \circ \eta_{G(B)} = \mathrm{id}_{G(B)}$$ 先嵌入再坍缩（或反过来）得到恒等。可以反过来用 $(\eta, \varepsilon)$ + 三角恒等式等价地定义伴随。

伴随与泛性质、可表函子的关系

• $F \dashv G$ $\iff$ 对每个 $B$，函子 $A \mapsto \mathrm{Hom}(F(A), B)$ 被 $G(B)$ 表示
• $F \dashv G$ $\iff$ 对每个 $B$，$\varepsilon_B: FG(B) \to B$ 是万有箭头 总结：泛性质是单个对象的刻画 → 可表函子是函子语言的翻译 → 伴随是一整族泛性质的打包

有用的性质

• 左伴随保持余极限，右伴随保持极限。
• 伴随如果存在则在自然同构意义下唯一。
• 伴随可以复合：$F_1 \dashv G_1$, $F_2 \dashv G_2$ $\Rightarrow$ $F_2 F_1 \dashv G_1 G_2$。

2.7 极限

动机

积只处理"两个孤立的对象"。如果对象之间还有态射关系，需要更一般的构造——极限。

图表（Diagram）

一个图表是函子 $D: \mathcal{J} \to \mathcal{C}$，其中 $\mathcal{J}$（指标范畴）描述图表的形状，$D$ 把形状填入 $\mathcal{C}$ 的具体对象和态射。

锥（Cone）

给定图表 $D: \mathcal{J} \to \mathcal{C}$，一个锥是：对象 $X$ 加一族态射 $\{f_j: X \to D(j)\}_{j \in \mathcal{J}}$，满足相容性：对 $\mathcal{J}$ 中任何 $\alpha: i \to j$， $$D(\alpha) \circ f_i = f_j$$

极限 = 万有锥

$D$ 的极限 $\lim D = (L, \{\pi_j\})$ 是一个锥，满足：对任何其他锥 $(X, \{f_j\})$，存在唯一的 $u: X \to L$，使得 $\pi_j \circ u = f_j$ 对所有 $j$ 成立。极限是"最好的"锥，所有其他锥唯一地经过它。

各种极限都是特例

余极限

箭头反向：余锥、万有余锥。特例：余积、余等化子、推出、始对象。

极限与伴随

对角函子 $\Delta: \mathcal{C} \to [\mathcal{J}, \mathcal{C}]$ 把 $A$ 送到常值函子。则：

$$\mathrm{Hom}_{[\mathcal{J},\mathcal{C}]}(\Delta(A), D) \cong \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A, \lim D)$$

即 $\Delta \dashv \lim$（极限是对角函子的右伴随）。对偶地 $\mathrm{colim} \dashv \Delta$。极限、泛性质、伴随三者在此完全统一。

2.8 完备性

定义

• $\mathcal{C}$ 完备（complete）$:=$ 对任何小范畴 $\mathcal{J}$，任何 $D: \mathcal{J} \to \mathcal{C}$ 的极限存在
• $\mathcal{C}$ 余完备（cocomplete）$:=$ 所有余极限存在

关键定理

$$\mathcal{C} \text{ 完备} \iff \mathcal{C} \text{ 有所有（小的）积和所有等化子}$$ 构造方法：对图表 $D: \mathcal{J} \to \mathcal{C}$，

1. 先取积 $\prod_j D(j)$（粗暴地把所有对象放一起）
2. 再取等化子，切出满足相容性条件的部分

对偶地：余完备 $\iff$ 有所有余积和所有余等化子。

意义

完备性 = 范畴"足够丰富"，各种粘合和约束操作不会跑出范畴。等价于对角函子 $\Delta$ 对每个小的 $\mathcal{J}$ 都有右伴随。

常见的完备且余完备的范畴：$\mathbf{Set}$, $\mathbf{Grp}$, $\mathbf{Ab}$, $R\text{-}\mathbf{Mod}$, $\mathbf{Top}$。