群表示论学习笔记（一）：SU(2)不可约群表示的分类

首先回顾一下SU(2)群的李代数，因为研究李代数往往比群更简单，并且通过指数映射我们也能等价地变回到群上。我们知道 $\mathfrak{su}(2)$ 可以用泡利矩阵 $$ \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \quad \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$ 写出基底 $J_k=\frac{1}{2}\sigma_k$ ，那么有对易关系 $$ [J_1,J_2]=iJ_3\ ,[J_2,J_3]=iJ_1\ ,[J_3,J_1]=iJ_2 $$ 由于任何表示都能写成不可约表示的直和，我们直接研究不可约表示，先来看有限维的情况。由于李代数表示 $\pi(J_1),\pi(J_2),\pi(J_3)$ 保李括号，我们为了简洁起见直接继续沿用 $J_1,J_2,J_3$ 的记号。 如果我们想得到 $\mathfrak{su}(2)$ 的所有不可约表示，如果我们能得到 $\mathfrak{su}(2)$ 的所有不可约表示，它们必然有一个“标签”，一个在整个表示空间都共有的标签，那它必定和任何算符都是对易的，否则它的作用就会受到其它算符的影响、不满足它“全空间共有”的性质（如果不可约表示是可分类的，那么 代数空间内部必定有一个全局量作为分类标准，也就是“标签”。李括号本质上是一种代数层面的测量，那这个所谓全局量就只能在全空间测量结果一致，也就是全空间对易）。那么在 $\mathfrak{su}(2)$ 中这个标签 $$ T=\nu I $$ 其中 $I$ 为单位算符。根据代数的封闭性，我们一定能通过 $J_1,J_2,J_3$ 的代数组合得到这个算符，现在我们来尝试寻找它。 考虑一次项的情况，显然 $J_1,J_2,J_3$ 的线性组合不可能得到这样一个标量算符；考虑二次项的情况，也就是 $$ T=\sum_{i,j}^3c_{ij}J_iJ_j $$ 我们可以把它分解为对称部分和反称部分。对于反称部分，由于对易关系， 它一定会退化会一次项的情况；剩下的就只能是对称部分，也就是 $$ T=\sum_{i,j}s_{ij}J_iJ_j $$ 其中 $s_{ij}$ 为对称张量。为了继续求解，我们只能把它代入对易子里 $$ [T,J_k]=[\sum_{i,j}s_{ij}J_iJ_j,J_k]= i\sum_{\ell,m}\Big((\varepsilon_{k\ell i} s_{ij}) J_\ell J_j+(\varepsilon_{k j \ell} s_{ij}) J_i J_\ell\Big) $$ 如果它等于0，也就（只能）是 $\varepsilon_{k\ell i} s_{ij}=0$ ，那（根据线性代数结论）只有 $$ s_{ij}=\mu\delta_{ij} $$ 于是我们有 $$ T=\mu(J_1^2+J_2^2+J_3^2) $$ 不妨取 $\mu=1$ 并把这个算符记为 $$ J^2=J_1^2+J_2^2+J_3^2=\nu I $$ 或许在更高次（三次、四次……）还能找到更多的“标签”，但我们只需要这个最简单的就可以了。 在这个不可约表示空间中，为了使计算尽量简单，我们首先当然要选择一组合适的基底，而现在的基底 $(J_1,J_2,J_3)$ 对易关系又很复杂。对于单一算符的情况，那自然是用算符自己的本征矢量做基底最简单；但我们有多个算符需要处理，就只能退而求其次，以三个基底中的其中一个算符做对角化；习惯上我们选择 $$ J_3\ket{m_k}=m_k\ket{m_k} $$ 也就是以 $J_3$ 的本征矢量作为基底对角化。显然 $J_1,J_2$ 不能和它同时对角化（对易子非零），那么，我们可以尝试分解 $\mathfrak{su}(2)$ 得到最大对易子空间，而分解这个空间的最简单办法自然是寻找一个算符，让它的三个本征矢量分离 $J_3$ 和另外两个维度，那最简单的情况就是 $J_3$ 本身就是本征值，它对应的本征值为0。要找这样的算符自然联想到对易子算符 $$ Ad_{J_3}X=[J_3,X] $$ 它显然是一个线性算符，可以展开在 $(J_1,J_2,J_3)$ 基底上。由于 $$ [J_3,J_2]=-iJ_1,\ [J_3,J_1]=iJ_2 $$ 可以写出 $$ Ad_{J_3}=\begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 更有趣的是，这个对易子算符如果作用在 $J_3$ 的本征矢量上 $$ [J_3,X]\ket{m}=J_3X\ket{m}-XJ_3\ket{m}=J_3X\ket{m}-mX\ket{m}=(J_3-m)X\ket{m} $$ 这强烈暗示了一个和本征方程有关的东西！假设： $X$ 是对易子算符的本征矢量，也就是 $$ Ad_{J_3}X=[J_3,X]=\lambda X $$ 这意味着 $$ [J_3,X]\ket{m}=\lambda X\ket{m}=(J_3-m)X\ket{m}\Rightarrow J_3X\ket{m}=(m+\lambda)X\ket{m} $$ 这说明 $X\ket{m}$ 也是 $J_3$ 的本征函数！我们不妨算出来它的本征矢量，根据本征方程 $$ Ad_{J_3}X=\lambda X $$ 可以解出两个本征矢量 $$ J_+=J_1+iJ_2 \ , \ J_-=J_1-iJ_2 $$ 它们实际上就是量子力学中的升降算符，我们居然从纯数学的角度得到了它，而数学动机是对角化对易子算符来得到一个方便计算的基底。为了更好地了解它们，我们可以计算对易关系（前两个其实就是本征方程） $$ [J_3, J_+] = J_+\ ,[J_3, J_-] = -J_-\ ,[J_+, J_-] = 2J_3 $$ 对于算符 $J_+$ 我们有 $$ J_3J_+\ket{m}=(m+1)\ket{m} $$ 可见它能“提升” $J_3$ 的本征值，我们也因此叫它上升算符；而另一个算符 $J_-$ 有 $$ J_3J_-\ket{m}=(m-1)\ket{m} $$ 于是我们叫它下降算符。

在群论里，我们把之前尝试寻找的李代数最小对易子空间叫做Cartan 子代数，把分解Cartan 子代数后剩下的空间叫做根空间，而对角化根空间其实就是根空间分解。我们发现，通过根空间分解得到的基底会很容易计算权空间中的矢量，而升降算符的作用恰恰使升高或降低权。

对于有限维，升降算符对权的升高或降低作用一定是有限的，必然存在最高权 $m_1$ $$ J_+\ket{m_1}=0 $$ 与最低权 $m_2$ $$ J_-\ket{m_2}=0 $$ 对于不同的表示， $m_1$ 与 $m_2$ 必然不同，这强烈暗示着它们会与我们之前找到的“标签” $J^2$ 有关。而 用升降算符表示的 $$ J^2=J_3^2+J_3+J_-J_+=J_3^2-J_3+J_+J_- $$ 因此，最高权 $$ J^2\ket{m_1}=(J_3^2+J_3+J_-J_+)\ket{m_1}=(m_1^2+m_1)\ket{m_1} $$ 最低权 $$ J^2\ket{m_2}=(J_3^2-J_3+J_+J_-)\ket{m_2}=(m_2^2-m_2)\ket{m_2} $$ 但我们记得 $J^2=\nu I$ ，因此 $$ \nu=(m_1^2+m_1)=(m_2^2-m_2) $$ 移项，因式分解，我们可以得到 $$ (m_1+m_2)(m_1-m_2+1)=0 $$ 也就是 $$ m_1=-m_2 \ or \ m_1=m_2-1 $$ 后者显然是荒谬的，因为 $m_1$ 作为最高权不可能等于 $m_2-1$ ，因此我们有 $$ m_1=-m_2 $$ 更有趣的是，由于升降算符每次都只升降整数，我们有 $$ m_1-m_2=2m_1=n $$ 这意味着我们记 $m_1=j=n/2$ 是一个半整数或整数！但别忘了我们的目的是分类不可约表示，其实结果已经很清晰了，我们得到 $$ J^2=\nu I=(j^2+j)=j(j+1)I $$ SU(2)的不可约表示按照 $j$ 严格分类（或者按照 $n$ ）