3.1 庞加莱群结构

3.1.1 Killing方程

任何惯性系中的物理过程必须保持间隔不变性。换句话说，惯性系中的物理过程必须与四维闵氏时空等距同胚，也就是说任何操作都必须“保度规”。我们知道，黎曼流形中的killing矢量场诱导出的单参子群保度规，而killing矢量场在恒等元处的矢量又能张成李代数，那如果我们能解出闵氏时空的所有killing矢量场，并且以它的代数作为李代数逆推就能得到群结构。事实上，有Myers–Steenrod 定理保证：对任意（半）黎曼流形 $(M,g)$ ，等距同胚群 $\mathrm{Isom}(M,g)$ 是一个有限维李群，其李代数正是 Killing 矢量场的代数。

我们现在的目标就变成了求解闵氏时空上的全部killing矢量场。我们知道，一个无穷小坐标变换 $x^\mu \to x^\mu + \epsilon \xi^\mu(x)$ 如果保持度规不变，则生成元矢量场 $\xi$ 必须满足 Killing方程： $$ \mathcal{L}_\xi \eta_{\mu\nu} = \nabla_\mu \xi_\nu + \nabla_\nu \xi_\mu = 0 $$ 在平直时空中，协变导数退化为普通导数 $\partial_\mu$，因此我们需要求解： $$ \partial_\mu \xi_\nu + \partial_\nu \xi_\mu = 0 \tag{3.1} $$ 这是一个限制 $\xi^\mu(x)$ 函数形式的一阶偏微分方程组。使用惯用的“求导技巧”。对 (3.1.1.1) 式关于 $\partial_\rho$ 求导： $$ \partial_\rho \partial_\mu \xi_\nu + \partial_\rho \partial_\nu \xi_\mu = 0\tag{3.2} $$ 利用偏导数交换律，我们将指标轮换（$\mu \to \nu \to \rho \to \mu$）写出另外两个式子： $$ \partial_\mu \partial_\nu \xi_\rho + \partial_\mu \partial_\rho \xi_\nu = 0\tag{3.3} $$ $$ \partial_\nu \partial_\rho \xi_\mu + \partial_\nu \partial_\mu \xi_\rho = 0\tag{3.4} $$ 用第一个式子减去第二个，再加上第三个（$(3.2)-(3.3)+(3.4)$），最终得到： $$ 2 \partial_\mu \partial_\nu \xi_\rho = 0 \quad \Rightarrow \quad \partial_\mu \partial_\nu \xi_\rho = 0 $$ 这意味着 $\xi_\rho(x)$ 关于坐标 $x$ 的二阶导数恒为零。换句话说，Killing矢量场必须是坐标的线性函数。我们可以将通解写为： $$ \xi_\rho(x) = a_\rho + \omega_{\rho\sigma} x^\sigma $$ 其中 $a_\rho$ 和 $\omega_{\rho\sigma}$ 是常数张量。现在将通解代回原始的 Killing 方程 $$ \partial_\mu (a_\nu + \omega_{\nu\sigma} x^\sigma) + \partial_\nu (a_\mu + \omega_{\mu\sigma} x^\sigma) = 0 $$ $$ \omega_{\nu\mu} + \omega_{\mu\nu} = 0 \quad \Rightarrow \quad \omega_{\mu\nu} = -\omega_{\nu\mu} $$ 这意味着 $\omega_{\mu\nu}$ 必须是一个反对称张量。现在来清点自由度，首先常数项 $a_\rho$ 有 4 个独立分量，对应的矢量场 $\xi = a^\mu \partial_\mu$ ，选择坐标为基底有 4 个平移生成元 $$ P_\mu = \partial_\mu $$ 而反对称矩阵 $\omega_{\mu\nu}$ 在四维空间中有一共 $4 \times 3 / 2 = 6$ 个独立分量，对应矢量场 $\xi = (\omega_{\mu\nu} x^\nu) \partial^\mu = \omega^{\rho\nu} x_\nu \partial_\rho$ ，只需要让基元挨个取1就有 $$ M_{\mu\nu} = x_\mu \partial_\nu - x_\nu \partial_\mu $$

3.1.2 全局等距同胚群

我们已经得到了目标群的李代数，但是李代数并不能唯一确定李群。我们之前讨论过，目标群必须是闵氏时空的等距同胚群，这也就意味着等距映射必须将测地线（这里就是直线）映射为测地线，而我们又有仿射几何定理在 $\mathbb R^n$ 上，任意把直线映射为直线的 $C^1$ 双射必为仿射变换 $$ f(x)=A x + a $$ 其中 $A$ 是常矩阵， $a$ 是常矢量，而根据等距条件 $$ \eta(A v,A v)=\eta(v,v)\quad\forall v $$ 因此 $$ A^T\eta A=\eta $$ 矩阵 $A$ 必须属于洛伦兹群 $O(1,3)$ ，而常矢量就是 $\mathbb R^{1,3}$ ，只剩下群乘法待定。考虑变换 $$ (\Lambda_2,a_2)\circ(\Lambda_1,a_1)(x)=\Lambda_2(\Lambda_1 x+a_1)+a_2=(\Lambda_2\Lambda_1)x+(\Lambda_2 a_1+a_2) $$ 因此群乘法必须是 $$ (\Lambda_2,a_2)(\Lambda_1,a_1)=(\Lambda_2\Lambda_1,\Lambda_2 a_1+a_2) $$ 群结构 $$ \mathbb R^{1,3}\rtimes O(1,3) $$ 我们把这个群叫做庞加莱群 $ISO(1,3)$

3.1.3 代数结构

计算对易子。首先平移算符毫无争议 $$ [P_\mu,P_\nu]=0\tag{3.5} $$ 接着是 $$ \begin{align} &[M_{\mu\nu}, P_\rho] f = M_{\mu\nu}(P_\rho f) - P_\rho(M_{\mu\nu} f)\\[6pt] =&x_\mu \partial_\nu \partial_\rho f - x_\nu \partial_\mu \partial_\rho f-(\partial_\rho x_\mu\partial_\nu f + x_\mu \partial_\rho \partial_\nu f - \partial_\rho x_\nu\partial_\mu f - x_\nu \partial_\rho \partial_\mu f)\\[6pt] =& -\eta_{\mu\rho} \partial_\nu f + \eta_{\nu\rho} \partial_\mu f\\[6pt] =& (-\eta_{\mu\rho} P_\nu + \eta_{\nu\rho} P_\mu )f \end{align} $$ 因此 $$ [M_{\mu\nu}, P_\rho] = -\eta_{\mu\rho} P_\nu + \eta_{\nu\rho} P_\mu\tag{3.6} $$ 最后是 $$ [M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}] = \eta_{\nu\rho} M_{\mu\sigma} - \eta_{\mu\rho} M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma} M_{\mu\rho} + \eta_{\mu\sigma} M_{\nu\rho}\tag{3.7} $$ 计算比较复杂，不多赘述。三个式子就是 $\mathfrak{iso}(1,3)$ 的完整结构。

3.2 庞加莱不可约群表示

老规矩，先找卡西米尔算符。为了写成矩阵，我们选择坐标顺序： $$ (p^0, p^1, p^2, p^3, m^{01}, m^{02}, m^{03}, m^{12}, m^{13}, m^{23}) $$ 由于 $P$ 算符内部互相对易，我们的泊松算符一定有分块形式 $$ \pi = \begin{pmatrix} 0_{4\times 4} & B \\ -B^T & D \end{pmatrix} $$ 而 $B$ 矩阵可以直接挨个写出来 $$ B = \begin{pmatrix} p^1 & p^2 & p^3 & 0 & 0 & 0 \\ p^0 & 0 & 0 & -p^2 & -p^3 & 0 \\ 0 & p^0 & 0 & p^1 & 0 & -p^3 \\ 0 & 0 & p^0 & 0 & p^1 & p^2 \end{pmatrix} $$ 但是 $D$ 矩阵就很复杂了。仿照伽利略群我们定义三维矢量 $$ \vec{K} = (m^{01}, m^{02}, m^{03}),\vec{J} = (m^{23}, m^{31}, m^{12}) $$ boost矢量和角动量矢量，以及叉乘矩阵 $(\Omega_{\vec{v}})_{ij} = \epsilon_{ijk} v^k$ ，这样一来我们的 $D$ 矩阵就是 $$ D = \begin{pmatrix} 0_{3\times 3} & \Omega_{\vec{J}} \\ -\Omega_{\vec{J}} & \Omega_{\vec{K}} \end{pmatrix} $$ 因此完整的泊松张量 $$ \pi_{10\times 10} = \left(\begin{array}{cccc|cccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & p^1 & p^2 & p^3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & p^0 & 0 & 0 & -p^2 & -p^3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & p^0 & 0 & p^1 & 0 & -p^3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & p^0 & 0 & p^1 & p^2 \\ \hline -p^1 & -p^0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -m^{23} & m^{31} & -m^{12} \\ -p^2 & 0 & -p^0 & 0 & 0 & 0 & 0 & m^{23} & 0 & m^{03} \\ -p^3 & 0 & 0 & -p^0 & 0 & 0 & 0 & -m^{31} & -m^{03} & 0 \\ 0 & p^2 & -p^1 & 0 & m^{23} & -m^{23} & m^{31} & 0 & -m^{03} & m^{02} \\ 0 & p^3 & 0 & -p^1 & -m^{31} & 0 & m^{03} & m^{03} & 0 & -m^{01} \\ 0 & 0 & p^3 & -p^2 & m^{12} & -m^{03} & 0 & -m^{02} & m^{01} & 0 \end{array}\right) $$ 这个泊松张量比伽利略群的情况更加棘手，因为伽利略群中我们左上角分块本来就是满秩的，而现在我们这个是0，而且四个分块没有一个是一看过去就能读出秩的，它的直接对角化会非常棘手，为此，我们需要进一步研究李代数的对偶矢量空间。

3.2.1 余伴随作用

我们知道群元的伴随表示 $Ad_g=gXg^{-1}$ 是作用在李代数生成元上，它同样也能作用在李代数的对偶空间上，定义余伴随表示 $Ad^*_g$ $$ \langle Ad_g^*\xi,X\rangle=\langle\xi_,Ad_{g^{-1}}X\rangle $$ 而余伴随表示天然也有一个生成元 $\text{Ad}^*_{1+\epsilon Y} \xi \approx \xi + \epsilon (\text{ad}^*_Y \xi)$ ，这个 $ad_Y^*$ 就被叫做流速度，因为对偶空间天然有坐标，而李群在它上面的作用正是坐标变换，相当于生成了一个“流”。我们来计算这个流速度 $$ \langle \xi + \epsilon \delta \xi, X \rangle = \langle \xi, [1 - \epsilon Y, X] \rangle = \langle \xi, X \rangle - \epsilon \langle \xi, [Y, X] \rangle $$ 因此 $$ \langle \delta \xi, X \rangle = - \langle \xi, [Y, X] \rangle $$ 这不正是泊松张量吗？进一步写成指标形式 $$ (\delta \xi)_a = - C_{ba}^c \xi_c Y^b = (C_{ab}^c \xi_c) Y^b=\pi_{ab}Y^b $$ 可见，泊松张量的像空间本质上就是切空间，李群变换作用在上面让矢量沿着切空间运动；核空间本质上是法矢量。沿着切空间我们能得到对偶空间的子流形，这个子流形就叫做辛叶层，也就是余伴随轨道；而标记每个辛叶层的就是我们的卡西米尔算符，不可约表示完全在同一个叶层上运动。因此，我们可以在每个辛叶层上任意变换，从而简化我们的求解。为了精确描述“轨道”的概念，我们定义哈密顿量 $$ H_X=\langle \xi,X\rangle $$ 而所谓“轨道”正是保哈密顿量的子流形。任何一个李代数生成元都有单参子群 $g(s) = \exp(sX)$ ，而由上面的 $\delta \xi$ 和泊松张量的关系知道 $$ \frac{d\xi_i}{ds}=\{\xi_i,H_X\}=\pi_{ij}(\xi)\frac{\partial H_X}{\partial \xi_j} $$ 我们来一个个计算。首先是平移变换 $a^\nu$ 下，泊松张量全是0，因此 $$ \frac{dp_\mu}{ds} = 0 \quad \implies \quad p_\mu(s) = p_\mu(0) $$ 平移变换下动量不变。然后是 $$ \begin{aligned} \frac{dm_{\mu\nu}}{ds} &= \{ m_{\mu\nu}, H \} = \{ m_{\mu\nu}, a^\lambda p_\lambda \} \\ &= a^\lambda \{ m_{\mu\nu}, p_\lambda \} \\ &= a^\lambda (\eta_{\mu\lambda} p_\nu - \eta_{\nu\lambda} p_\mu) \\ &= (a^\mu) p_\nu - (a^\nu) p_\mu \\ &= a^\mu p_\nu - a^\nu p_\mu \end{aligned} $$ 因为 $a$ 是常数，$p$ 也是常数所以右边是个常数，因此 $$ m'_{\mu\nu} = m_{\mu\nu}(0) + (a^\mu p_\nu - a^\nu p_\mu) $$ 接着是洛伦兹群元 $g = \exp(\frac{1}{2}\omega^{\mu\nu} M_{\mu\nu})$ 的作用，哈密顿量 $$ H_{Lor}(\xi) = \frac{1}{2} \omega^{\mu\nu} m_{\mu\nu} $$ 并且 $$ \frac{\partial H}{\partial p_\lambda} = 0, \quad \frac{\partial H}{\partial m_{\mu\nu}} = \omega^{\mu\nu} $$ 因此动量的演化 $$ \frac{dp_\mu}{ds} = \{ p_\mu, H_{Lor} \} = \frac{1}{2} \omega^{\rho\sigma} \{ p_\mu, m_{\rho\sigma} \}\frac{1}{2} \omega^{\rho\sigma} (-\eta_{\mu\rho} p_\sigma + \eta_{\mu\sigma} p_\rho) = \omega_\mu^{\ \nu} p_\nu $$ 因此 $$ p(1) = e^\omega p(0) \equiv \Lambda p(0) $$ 同理算出 $$ \frac{dm_{\mu\nu}}{ds} = \{ m_{\mu\nu}, H_{Lor} \} = \frac{1}{2} \omega^{\rho\sigma} \{ m_{\mu\nu}, m_{\rho\sigma} \} $$ 因此 $$ m(1) = \Lambda m(0) \Lambda^T $$ 因此对于群元 $g(\Lambda, a)$，我们有了总变换规则 $$ p'_\mu = \Lambda_\mu^\nu p_\nu $$ 和 $$ m' = \tilde{m} + a \wedge \tilde{p} = \Lambda m \Lambda^T + a \wedge (\Lambda p) $$ 换句话说也就是洛伦兹不变性：在 $P \to \Lambda P, M \to \Lambda M \Lambda^{-1}$ 下不变；平移不变性：在 $P \to P, M \to M + A \wedge P$ 下不变。任何一个全缩并得到的标量天生就是洛伦兹协变的，我们只需要另找一个满足平移不变性的矢量，然后拿它自己做缩并。第一个显然就是 $P$ 自己，我们找到了第一个卡西米尔算符 $$ C_1=p^\mu p_\mu=p^2=-M^2 $$ 我们一般把它叫做质量平方算符（这里字母分配不过来了！这里的质量平方算符里的M和之前那个生成元不是同一个M）。接着，显然 $M$ 肯定不是平移不变量，因为后面带了个2-形式 $F=A\wedge P$ ，但是它是可以被消掉的，也就是正交补——霍奇对偶！对于我们的这个2-形式，霍奇对偶 $^\star M$ 得到的就是它的正交补平面，同样是一个2-形式；我们可以通过先和 $P$ 做楔形积来得到剩下 $M$ 中和 $P$ 完全正交的部分，也就是新的1-形式 $$ W=^\star (M\wedge P)=\frac{1}{2}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}P^\nu M^{\rho\sigma} $$ 因此第二个卡西米尔算符 $$ \begin{align} C_2&=W^2=W \wedge {}^\star W = {}^\star (P \wedge M) \wedge {}^\star {}^\star (P \wedge M)\\ &= -\frac{1}{2} M_{\mu\nu} M^{\mu\nu}\,P^2 + M_{\mu\nu} P^\nu M^{\mu\rho} P_\rho \end{align} $$ 我们一般叫它自旋平方算符。

再来看看自由度，平移变换产生的流是 $\delta p = 0, \delta m = a \wedge p$ 虽然平移 $a$ 有四个自由度，但是它必须垂直于 $p$ ，因此是三个自由度；而洛伦兹变换作用在 $p$ 上有三个自由度（四个分量-保缩并），接着它作用在 $m$ 上又要保自旋算符缩并又要保 $m$ 自己缩并，因此是两个自由度；所以轨道自由度一共是8，对偶空间一共是10维，这意味着核空间维度是2，因此只有两个代数独立卡西米尔算符，而我们刚刚已经算出来了。

3.2.2 庞加莱群不可约表示分类

我们刚刚得到了两个代数独立卡西米尔算符 $M^2$ 和 $W^2$ ，而根据之前的推理，我们总可以做洛伦兹变换使得同一轨道取标准动量 $k = (M, 0, 0, 0)$ ，那么此时另一个算符 $$ W_\mu=W_\mu(k) = \frac{1}{2} \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} k^\nu m^{\rho\sigma} = \frac{1}{2} M \epsilon_{\mu 0 \rho\sigma} m^{\rho\sigma}=MJ_\mu $$ 恰好是三维空间角动量算符的 $M$ 倍，现在保持动量 $k$ 不变的群显然就是 $SU(2)$ ，我们又可以套用之前的分类 $W^2=M^2s(s+1)$ ，因此不可约表示可以使用两个参数 $(M,s)$ 完全分类，它对应一般的单粒子表示；但更有趣的是无质量，也就是标准动量 $k = (E, 0, 0, E)$ 一个类光动量的情况，此时计算得到 $$ W^\mu = E \begin{pmatrix} J_3 \\ K_2 - J_1 \\ J_2 - K_1 \\ J_3 \end{pmatrix} $$ 三个独立分量，不妨定义 $L_z \equiv J_3,T_1 \equiv K_1 - J_2,T_2 \equiv K_2 + J_1$ ，计算对易关系 $$ [T_1, T_2] = 0,[L_z, T_1] = T_2, [L_z, T_2] = -T_1 $$ 这同构于二维欧几里得群 $E(2)$ 的李代数，按照之前的定理，如果 $T_1,T_2$ 有非零本征值，就会得到无限维表示，所以在物理上我们更常取平凡表示 $$ K_1 = J_2, \quad K_2 = -J_1 $$ 此时 $$ W^\mu = E (J_3, 0, 0, J_3) = J_3 \cdot P^\mu $$ 这种表示会在无质量粒子表示中出现。至此，我们就彻底完成了庞加莱群不可约表示的分类。