2.1 伽利略群

所有的物理学性质都是在对量子力学态的操作中体现的。我们的操作包括三方向平移、时间演化、空间旋转和伽利略boost，构成了伽利略群 $$ G = (\mathbb R^3 \times \mathbb R) \rtimes (\mathrm{SO}(3) \rtimes \mathbb R^3) $$

伽利略群看上去极其复杂！事实上这是流形概念缺失的必然结果，因为如果是在平直闵可夫斯基时空中我们天然的就有十个killing矢量场，它们各自成为了生成元，但是伽利略群的情况我们还没有时空的概念。

因此它的任意一个群元都可以写成 $(t,\vec x,R,\vec v)$ 除了群元素我们还需要群乘法，因此我们需要先衡量群元本身的作用。定义伽利略群元定义在时空中一点 $(t_0,\vec x_0)$ 效果（伽利略变换）是 $(t_0+t_1,R_1\vec x_0+\vec v_1t_0+\vec x_1)$ ，然后再作用一次得到 $t'=t_0+t_1+t_2$ 而 $$ \begin{align} \vec x'=&R_2(R_1\vec x_0+\vec v_1t_0+\vec x_1)+\vec v_2(t_0+t_1)+\vec x_2\\ =&R_2R_1\vec x_0+(R_2 \vec v_1+v_2)t_0+(\vec x_2+R_2\vec x_1+\vec v_2t_1) \end{align} $$ 它应该是群乘法 $g_1g_2$ ，因此我们对应得到 $$ g_1g_2=(t_1+t_2,\vec x_2+R_2\vec x_1+\vec v_2t_1,R_2R_1,R_2 \vec v_1+v_2) $$ 可以验证它满足结合律。我们定义单位元 $(0,0,I,0)$ ，可以验证它自动也有封闭性、逆元存在，我们成功构造出了伽利略群。

2.2 伽利略群的代数结构

在单位元附近参数化群元素： $$ g(\epsilon) = \exp(\epsilon X) \approx I + \epsilon X + O(\epsilon^2) $$ 其中 $X$ 是李代数元素。据此我们可以定义出十个生成元：时间演化元哈密顿算符 $H$ ，空间平移元动量算符 $P_i$ ，旋转生成元角动量算符 $J_i$ 和boost生成元 $K_i$ 定义矢量场对易子为李括号 $$ \begin{align} L_{g*}[A,B]=[L_{g*}A,L_{g*}B]=[A,B]=[X,Y]=\left.\frac{\partial^2}{\partial s\,\partial t}\Big(e^{sX} e^{tY} e^{-sX} e^{-tY}\Big)\right|_{s=t=0} \end{align} $$ 可以计算得到对易关系 $$ [J_i,P_j]=\varepsilon_{ijk}P_k,[J_i,K_j]=\varepsilon_{ijk}K_k.[K_i,H]=P_i,[K_i,P_j]=0,[H,P_i]=0,[H,J_i]=0 $$ 剩下还有几个群内部的对易关系，不多赘述。

2.3 运动方程

群表示作用在态矢上，而伴随表示作用在算符上，两者从内积角度是等价的，因为我们要求保内积 $$ \langle \psi|e^{-K}He^{K}|\psi\rangle $$ 可以看出，我们既能认为是变换 $H\to e^{-K}He^{K}$ ，也能认为是 $|\psi\rangle\to e^{K}|\psi\rangle$ ，两种无疑，都是boost的实现。在量子力学中，我们把物理量随时间的演化叫做运动方程，根据上面的分析，能看出我们有两种基本运动方程，第一种是群表现作用在态矢上 $$ \frac{d}{dt}U(t)\ket{\psi}=\frac{d}{dt}\ket{\psi(t)}=\frac{d}{dt}e^{tH}\ket{\psi}=He^{tH}\ket{\psi}=H\ket{\psi(t)} $$ 也就是薛定谔方程 $$ \frac{d}{dt}\ket{\psi(t)}=H\ket{\psi(t)} $$ 第二种是群表现作用在任意算符 $A$ 上 $$ \frac{d}{dt}A(t)=\frac{d}{dt}(e^{-tH}Ae^{tH})=e^{-tH}[A,H]e^{tH}=[A(t),H] $$ 也就是海森堡运动方程 $$ \frac{d}{dt}A(t)=[A(t),H] $$ 在 $t$ 变化下所有可观测量的变化，就是“力学”的本质。可观测量以内积形式 $$ \langle A\rangle=\langle \psi|A|\psi\rangle $$ 出现，那么由于我们对态矢的研究还不够深入，不妨先固定态矢、研究算符的变化。根据海森堡运动方程，算符的演化只与和 $H$ 的对易子有关，而目前为止和 $H$ 不对易的只有伽利略boost生成元 $K$ ，因此所有唯一非平凡算符演化方程是 $$ \frac{d}{dt}K_i=e^{-tH}P_ie^{tH}=P_i $$ 因此 $$ K_i(t)=P_it+K_i(0) $$ 但时间并不是一个多么“特殊”的参数，事实上物理的本质就是参数变化下可观测量的响应。同理，参数 $\vec x$ 变换下所有可观测量的变化，就是可观测量的“空间分布”，参数 $R$ 变换下所有可观测量的变化，就是对可观测量 “旋转”，参数 $\vec v$ 变换下所有可观测量的变化，就是惯性参考系速度变化下可观测量的变化。按照这个思路，我们就能求得所有参数变换下物理量的响应。

2.4 能量存在下限

能量谱具有下界是一个反映物理体系稳定性的基本假设。如果能量存在下限，那它应该在所有变换下都存在下限，而目前唯一一个能改变能量（根据对易关系）的物理量就是 $K_i$ ，因此我们需要研究速度参数 $\vec v$ 变换下 $H$ 的响应。考虑任意一个方向（一共只有三个方向）下速度参数变换，这也就是 $K$ 的自伴表示 $$ H(v)=e^{-vK}He^{vK} $$ 而在无穷小 $v$ 的变换下 $H$ 的变化也就由导数刻画 $$ \frac{d}{dv}H(v)=e^{-vK}[H,K]e^{vK}=e^{-vK}(-P)\ e^{vK}=-P $$ 因此 $$ H(v)=-Pv+H(0) $$ 更一般地，我们可以写成 $$ H(\vec v)=-\vec P\cdot\vec v+H(0) $$ 这也就意味着在我们目前的代数体系中， $H$ 的期望 $$ \langle H(v) \rangle=\langle -\vec P\cdot\vec v+H(0) \rangle $$ 随 $\vec v$ 的变化可以达到负无穷。

2.5 全局U(1)对称性与中心扩张

之所以会得到上面那个荒谬的结论，是因为我们缺少了全局U(1)对称性：可观测物理量完全依赖内积，因此群乘法可以作用于态矢的相位上。假设原来伽利略群的群元 $g$ 和补充了对称性的群元 $\theta$ ，则群乘法应该 $$ (g_1,\theta_1)(g_1,\theta_1)=(g_1g_2,\theta_1+\theta+\omega(g_1,g_2)) $$ 根据结合律，不难推出（留作练习） $$ \omega(g_1,g_2)+\omega(g_1 g_2,g_3)=\omega(g_2,g_3)+\omega(g_1,g_2 g_3) $$ 我们把满足这个关系的 $\omega$ 叫做2-cocycle，它是上同调理论中的重要组成。结合律对 $\omega$ 的约束是很强的，事实上Bargmann (1954)证明了它只能取 $$ \omega(g_1, g_2) = m \left( \frac{1}{2} \mathbf{v}_1^2 t_2 + \mathbf{v}_1 \cdot (R_1 \mathbf{x}_2) \right) $$ 其中 $m$ 是标量参数，具体推导见数学附录，并且同时为了保证单位元是 $(I,0)$ 我们还需要规范选择 $\omega(g,e)=\omega(e,g)=0$

引入U(1)之后，我们的群乘法势必发生改变，李括号也必然发生改变。记变换 $\theta$ 的生成元 $M$ ，我们关于 $M$ 的群乘法 $$ (g,\theta)(e,\alpha)=(g,\theta+\alpha)=(e,\alpha)(g,\theta) $$ 因此 $$ [M,X]=0 $$ 这也就意味着 $M$ 事实上是整个扩张后的伽利略群的一个中心元。而剩下的对易关系，我们可以计算（这里不再赘述，按照曾经说过的定义计算）得到所有对易关系中只有 $$ [K_i,P_j]=\delta _{ij}M $$ 是非平凡的。回过头来，我们再看那个能量 $$ \frac{d}{dv}H(v)=e^{-vK}[H,K]e^{vK}=e^{-vK}(-P)\ e^{vK} $$ 再求一阶导得到 $$ \frac{d^2}{dv^2}H(v)=e^{-vK}[-P,K]\ e^{vK}=e^{-vK}(M)\ e^{vK}=M $$ 因此 $$ \frac{d}{dv}H(v)=e^{-vK}(-P)\ e^{vK}=Mv+\frac{d}{dv}H(0)=Mv-P $$ 最终得到 $$ H(v)=\frac{1}{2}Mv^2-Pv+H(0) $$ 或者更一般的 $$ H(\vec v)=\frac{1}{2}M\vec v^2-\vec P\cdot \vec v+H(0) $$ 开口朝下的二次函数，必然存在下界。

事实上，由于我们这里讨论的所有生成元都是反自伴算符，说 $H(\vec v)$ 存在下界有那么一点点不准确，应该是它的期望存在下界。

2.6 伽利略群的不可约表示

现在，我们对（中心扩张后的）伽利略群内部结构与群元演化关系已经比较清晰了，现在我们不得不面对这样一个问题：伽利略群怎样作用在态矢上？

事实上并不是伽利略群直接作用在态矢上，我们必须得到它们在（射影）希尔伯特空间上的表示，而任何表示都能写成不可约表示的直和，因此我们需要研究伽利略群的不可约表示，那也首先就要得到伽利略群不可约表示的分类。

我们曾经成功分类了SU(2)的不可约表示，当时我们找到了一个“标签”，也就是Casimir算符 $J^2$ ，而我们当时是根据它“和全空间对易”这一点出发寻找的。很显然，中心扩张后我们得到算符 $M$ 和全空间对易，那么我们能否直接用它来作为伽利略群不可约表示的分类呢？

很遗憾，我们不能这么做。一个Casimir算符 $C$ 的本质是对于任意 $X\in \mathfrak{g}$ ，我们都有 $$ [X,C]=0\Leftrightarrow Ad_XC=0 $$ 其中 $Ad_X=[X, \ \cdot \ ]$ 是伴随表示。任意一个自伴表示作用在 $C$ 上都是0，这本质上是一个关于 $C$ 的方程，它的解构成了一个解空间。在SU(2)的情况，容易看出解空间是一维的，而现在伽利略群显然不是一维的（内部有高于一维的对易子代数）。那有没有什么方法把它变成可解的形式呢？通过一个约束得到某个多项式 $C$ 的具体形式，这听上去就像是一个微分方程，有没有可能把它变成微分方程呢？怎么把代数变成数呢？

2.6.1 泊松括号

矢量空间上的算子与实数最简单的连接方式，就是与对偶矢量的张量积加缩并。例如，李代数 $\mathfrak{g}$ 的对偶空间 $\mathfrak{g^*}$ 上的任意两个基底 $(e_\mu)^a$ 和 $(e^\nu)_a$ 先做张量积再缩并的规则恰恰是 $$ (e_\mu)^a(e^\nu)_a=\delta^\nu_\mu $$ 而两个空间上的任意矢量（或者对偶矢量）都可以展开在基底上 $$ A^a=A^\mu(e_\mu)^a \ ,\ A_a=A_\mu(e^\mu)_a $$ 我们知道，李括号可以写成结构张量 $$ [A,B]^c=C_{ab}^cA^aB^b $$ 如果我们想要定义对偶空间上的李括号，那我们就得把对偶空间上的矢量“拉回到矢量空间上”，但我们知道，一个矢量空间和它的切矢量空间、余切矢量空间自然同构，对偶矢量空间的对偶矢量空间也就变成了原矢量空间，如果我们能通过自然的规则把 $\mathfrak g^*$ 上的对偶矢量推到它的对偶矢量，那么对偶的对偶也就变成了原空间。这令人联想到外微分，一个标量函数的外微分能将0-形式变为1-形式，也就得到了对偶矢量；那么对偶矢量空间上的标量函数也就能变成矢量。而将对偶矢量变成标量的最简单办法就是缩并，换句话说 $A^a\to A^a\xi_a=f(\xi)\to df^a\to [df,dg]^c=C_{ab}^cdf^adg^b$ ，但 $[df,dg]^c$ 是一个矢量，我们想得到一个标量，自然就需要和对偶空间中的一个点 $\xi_c$ 缩并，因此我们定义泊松括号 $$ \{f,g\}(\xi)=\xi_c[df,dg]^c=C_{\mu\nu}^\rho\xi_\rho\frac{\partial f}{\partial_{\xi_\mu}}\frac{\partial g}{\partial_{\xi_\nu}} $$ 回到我们的方程，卡西米尔算符 $C$ 满足 $$ [X,C]=0 $$ 它也就有等价形式（取 $f=C,g=\xi_\rho$ ） $$ C_{\mu\nu}^\rho\xi_\rho\frac{\partial C}{\partial\xi_\mu}=0 $$ 其中 $\xi_\mu$ 是任意生成元对偶矢量在坐标基底下的分量 $\xi_\mu=\xi_a(e_\mu)^a$ ，这个PDE系统的解就是卡西米尔算符在对偶矢量下的算符，它可以轻松化成矢量空间中的算符。

2.6.2 Casimir算符的个数

由于 $\dfrac{\partial C}{\partial\xi_\mu}$ 是一个矢量，我们可以定义泊松张量 $\pi_{ab}=C_{\mu\nu}^\rho\xi_\rho$ ，那么方程就是 $$ \pi_{ab}X^a=0\tag{2.6.2.1} $$ 这是一个线性方程。这也就意味着，泊松张量天然将一个 $n$ 维李代数分成了两个空间：方程(2.6.2.1)的解空间，我们叫它核空间；以及剩下的空间，我们叫它像空间（可以想象泊松张量就是一个投影作用，把一个矢量投影到另一个矢量上）。有定理保证了相空间能够形成“叶层”，一种可以完全分解流形的子流形，这是辛几何的重要内容，不过我们这里先不多赘述。总之，根据线性代数的基本定理， $X^a$ 的维度（核空间的维度）加上泊松张量的秩就是李代数空间的总维度。因此，正确写出泊松张量的矩阵是一个重要的步骤。它可以（留作练习）写成如下的分块形式 $$ \pi = \left( \begin{array}{cc|ccc} 0 & -M\mathbb{I}_3 & 0 & \Omega_{\mathbf{p}} & 0 \\ M\mathbb{I}_3 & 0 & \mathbf{p} & \Omega_{\mathbf{k}} & 0 \\ \hline 0 & -\mathbf{p}^T & 0 & 0 & 0 \\ \Omega_{\mathbf{p}} & \Omega_{\mathbf{k}} & 0 & \Omega_{\mathbf{j}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ 其中 $\mathbb{I}_3$ 是三维单位矩阵， $(\Omega_{\mathbf{v}})_{ab} = \epsilon_{abc}v_c$ 表示叉乘。可以看出泊松张量是一个反称矩阵，我们把它写成简单的大块（按照上面的划分）形式 $$ \pi = \begin{pmatrix} A & B \\ -B^T & D \end{pmatrix} $$ 只要求得这个矩阵的秩我们就能得到代数独立Casimir算符的个数（核空间的维度）。

2.6.3 Casimir算符的求解

使用分块高斯消元法。高斯消元法很简单，相信不少人都接触过。假设我们要算一个 $2 \times 2$ 矩阵的秩，或者把它化为对角形： $$M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ 如果 $a \neq 0$，我们想把左下角的 $c$ 消成 0，只需要第 2 行减去 $(\frac{c}{a}) \times$ 第 1 行，矩阵变成了： $$\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d - \frac{bc}{a} \end{pmatrix}$$ 此时，右下角这个复杂的代数式 $S = d - \frac{bc}{a}$，就叫做 Schur 补，我们也就成功把它化成了上三角型。

分块高斯消元法就是它的加强版，无非是把数换成了矩阵，除法变成了求逆。我们想把 $C$ 变成全零矩阵，第 2“行”（分块行）减去 $C A^{-1} \times$ 第 1“行”，这在数学上等价于左乘一个“初等变换矩阵”： $$ \begin{pmatrix} I & 0 \\ -C A^{-1} & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D - C A^{-1} B \end{pmatrix} $$ 现在矩阵已经是上三角分块了，我们想把它彻底变成分块对角矩阵，也就是第 2“列”减去 $A^{-1} B \times$ 第 1“列”，用右乘法实现 $$ \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & S \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & -A^{-1}B \\ 0 & I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & S \end{pmatrix} $$ 那个对角块里的 $S = D - C A^{-1} B$，就是矩阵形式的 Schur 补；想得到泊松张量的秩，只需要 $A$ 和 $S$ 的秩加起来。我们来计算一下这个 $S$ 矩阵（计算过程不展示了）： $$ S=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \Omega_{\mathbf{J} - \frac{1}{M}\mathbf{P} \times \mathbf{K}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 而这个矩阵的秩是2（因为 $\Omega_{ab}$ 是 $3\times 3$ 反对称矩阵），再加上 $A$ 的秩是6，泊松张量的秩就是8，总维度11减去8等于3，也就是说代数独立Casimir算符的数量就是3，不过事实上我们这相当于已经对角化了泊松矩阵，根据线性代数，假设我们找到了两个可逆矩阵 $P$ 和 $Q$，使得 $M$ 变成了更简单的形式 $\tilde{M}$： $$ P M Q = \tilde{M} = \begin{pmatrix} D & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 我们要解 $M X = 0$ ，插入单位阵 $Q Q^{-1}$： $$ M (Q Q^{-1}) X = 0 $$ 两边左乘 $P$： $$ (P M Q) (Q^{-1} X) = 0 $$ 令新的未知矢量 $Y = Q^{-1} X$，方程变成了： $$ \tilde{M} Y = 0 $$ 我们只需要在对角化后求解的 $Y$ 左乘 $Q$ 就能得到 $X$ 了。对应到我们现在的泊松矩阵里面，由于左上角的矩阵 $A$ 是满秩的，我们的 $Y$ 就只和 $S$ 有关。下面我们利用这个思路求解，我们要找向量 $v = (v_h, \mathbf{v}_{\mathbf{j}}, v_m)^T$ 使得 $S v = 0$，首先左上右下的0直接给出两个解 取 $v^{(1)}$ 为： $$ v^{(1)} = \begin{pmatrix} 1 \\ \mathbf{0} \\ 0 \end{pmatrix} $$ 取 $v^{(2)}$ 为： $$ v^{(2)} = \begin{pmatrix} 0 \\ \mathbf{0} \\ 1 \end{pmatrix} $$ 取 $v^{(3)}$ 针对中间那块 $\Omega_{\mathbf{J} - \frac{1}{M}\mathbf{P} \times \mathbf{K}}$ ，但因为根据定理这个矩阵本质是叉乘 $\Omega_{\mathbf{w}} \mathbf{x} = \mathbf{w} \times \mathbf{x}$ ，解就是它本身 $$ v^{(3)} = \begin{pmatrix} 0 \\ \Omega_{\mathbf{J} - \frac{1}{M}\mathbf{P} \times \mathbf{K}} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \mathbf{J} - \frac{1}{M}\mathbf{P} \times \mathbf{K} \\ 0 \end{pmatrix} $$ 而 $Q$ 在我们的计算中是 $$ Q = \begin{pmatrix} I & -A^{-1}B \\ 0 & I \end{pmatrix}= \left( \begin{array}{c|c} \mathbb{I}_6 & \frac{1}{m} \begin{pmatrix} -\mathbf{p} & -\Omega_{\mathbf{k}} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \Omega_{\mathbf{p}} & \mathbf{0} \end{pmatrix} \\ \hline 0 & \mathbb{I}_5 \end{array} \right) $$ 这样我们就有 $$ X = Q \begin{pmatrix} 0 \\ v \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -A^{-1}B v \\ v \end{pmatrix} $$ 这样我们就能还原出 $X$ ，而 $X=\dfrac{\partial C}{\partial\xi_\mu}$ ，直接积分就能得到解。为了方便我们记 $X_{top}=-A^{-1}B v$ , $X_{bottom}=v$ 那么对于第一个解，先算top有 $$ X_{\text{top}} = \frac{1}{m} \begin{pmatrix} -\mathbf{p} \\ \mathbf{0} \end{pmatrix} $$ 那么 $$ \frac{\partial C}{\partial \mathbf{P}} = -\frac{\mathbf{P}}{M},\frac{\partial C}{\partial \mathbf{K}} = 0,\frac{\partial C}{\partial H} = 1,\frac{\partial C}{\partial \mathbf{J}} = 0,\frac{\partial C}{\partial M} = 0 $$ 因此 $$ dC_1 = 1 \cdot dH - \frac{\mathbf{P}}{M} \cdot d\mathbf{P} $$ 积分得到 $$ C_1 = \int dH - \int \frac{\mathbf{P}}{M} d\mathbf{p} = H - \frac{\mathbf{P}^2}{2M} $$ 第二个解更简单，它的top部分就是0，因此非零项只有一个 $\dfrac{\partial C}{\partial M} = 1$ ，也就是说 $$ C_2=M $$ 第三个解，计算top部分 $$ X_{\text{top}} = \frac{1}{M} \begin{pmatrix} -\mathbf{K}\times (\mathbf{J} - \frac{1}{M}\mathbf{P} \times \mathbf{K}) \\ \mathbf{P}\times (\mathbf{J} - \frac{1}{M}\mathbf{P} \times \mathbf{K}) \end{pmatrix} $$ 那么我们就有三个方程 $$ \nabla_{\mathbf{J}} C = \mathbf{J} - \frac{1}{M}(\mathbf{P} \times \mathbf{K}) $$ $$ \nabla_{\mathbf{P}} C = -\frac{1}{M} \mathbf{K} \times \left( \mathbf{J} - \frac{1}{M}(\mathbf{P} \times \mathbf{K}) \right) $$ $$ \nabla_{\mathbf{K}} C = \frac{1}{M} \mathbf{P} \times \left( \mathbf{J} - \frac{1}{M}(\mathbf{P} \times \mathbf{K}) \right) $$ 这个能直接目测出来 $C_3=\frac{1}{2}(\mathbf{J} - \frac{1}{M}(\mathbf{P} \times \mathbf{K}))^2$ ，我们就找到了所有的卡西米尔算符。

2.6.4 伽利略群的不可约表示分类

三个Casimir算符完全分类了中心扩张伽利略群，我们习惯上会定义质量算符 $$ M=M $$ 定义自旋平方算符 $$ S^2=\frac{1}{2}(\mathbf{J} - \frac{1}{M}(\mathbf{P} \times \mathbf{K}))^2 $$ 定义内能算符 $$ U=H - \frac{\mathbf{P}^2}{2M} $$ 名字而已，这都无关紧要。习惯上，我们称伽利略群的不可约群表示为单粒子系统，因为表示内部只有一个质量算符、一个自旋平方算符和一个内能算符。那他们都能取什么值呢？我们先来看内能算符，因为 $H$ 和 $P^2$ 的对易子为0，它们能同时对角化，我们可以寻找它们的共同本征矢量 $\ket{H,P}$ ，那么 $$ U\ket{H,P}=H - \frac{\mathbf{P}^2}{2M}\ket{H,P}=H - \frac{\mathbf{P}^2}{2M} $$ 注意，这里的 $H - \dfrac{\mathbf{P}^2}{2M}$ 中的 $H$ 和 $P$ 已经不是算符了，而是它们的本征值。那它们的本征值都能取什么值呢？这由斯通定理保证，定理指出： 1. 非紧致情况：如果一个生成元 $A$ 生成的单参子群同构于实轴 $(\mathbb{R}, +)$（即参数 $\tau$ 可以取任意实数，且不循环），那么 $A$ 的谱是连续的，且覆盖整个 $\mathbb{R}$ 2. 紧致情况：如果一个生成元 $A$ 生成的单参子群同构于圆周 $U(1)$ 或 $S^1$（即参数 $\tau$ 具有周期性 $\tau \sim \tau + 2\pi$），那么 $A$ 的谱是离散的（整数 $\mathbb{Z}$） 显然，两个生成元诱导的单参子群都同构于实轴，因此内能可以任取。其次， $M$ 作为生成元，它的单参子群 $$ \gamma(\theta)=e^{M\theta} $$ 同构于整个实轴（因为 $\theta$ 不需要满足任何周期条件），因此它的值也可以任意取。最后是自旋平方算符，可是 $J,P,K$ 不能同时对角化，我们没法直接算出它的本征值形式，那我们来研究 $\mathbf S=\mathbf{J} - \frac{1}{M}(\mathbf{P} \times \mathbf{K})$ ，因为这个一次算符作为生成元比二次算符的代数形式更简单。计算得到对易关系 $$ [S_i,S_j]=\varepsilon_{ijk}S_k $$ 因此 $S$ 作为生成元构成的李子代数同构于 $\mathfrak{su}(2)$ ，根据1.6节的讨论我们知道 $$ S^2\ket \psi=s(s+1)\ket\psi $$ 其中 $s$ 是整数或者半整数。这意味着，对于任意一个伽利略群的表示空间，我们都可以用 $(m,U,s)$ 来标记。

2.7 单粒子系统量子力学

2.7.1 伽利略群不可约群表示构造

前面我们一直使用反自伴算符作为生成元（出于数学上的考虑），而这一节2.7为了讨论物理，我们使用自伴算符 $A=i\tilde A$ 使用动量算符的本征函数作为基底，我们可以直接写 $$ P_i\ket \psi=p_i\ket\psi,M\ket\psi=m\ket\psi,U\ket\psi=(H-\frac{P^2}{2m})\ket\psi=u\ket\psi, H\ket\psi=(\frac{P^2}{2m}+u) $$ 因为这些都是可以和动量算符同时对角化的。我们曾经得到过，任何一个操作作用在态矢上都和自伴表示作用在算符上等价，因此我们只需要计算非平凡自伴表示。首先是伽利略boost我们有 $$ \frac{d}{d\mathbf v}P(\mathbf v)=\frac{d}{d\mathbf v}(e^{i\mathbf v\cdot \mathbf K}Pe^{-i\mathbf v\cdot \mathbf K})=e^{i\mathbf v\cdot \mathbf K}[K,P]e^{-i\mathbf v\cdot \mathbf K}=-M $$ 因此 $$ \mathbf P(\mathbf v)=M\mathbf v+\mathbf P $$ 也就是说 $$ \mathbf P\mathbf e^{-i\mathbf v \cdot \mathbf K}\ket\psi=(\mathbf p+m\mathbf v)\ket\psi $$ 这是个非平凡的结果！因为如果我们定义算符 $$ V=\frac{P}{M} $$ 那么就有 $$ \mathbf V\mathbf e^{-i\mathbf v \cdot \mathbf K}\ket\psi=(\mathbf p/m+\mathbf v)\ket\psi $$ 但是按照定义，算符 $e^{-i\mathbf v \cdot \mathbf K}$ 的作用正是速度增加$\mathbf v$ ，而它操作的结果同时也是是将 $V$ 的本征值增加 $\mathbf v$ ，这也就意味着算符 $V$ 的本征值就是速度。因此我们把它叫做速度算符。 接着是旋转，旋转的参数是 $\mathbf \theta=\theta\mathbf n$ 其中 $\mathbf n$ 是旋转轴矢量。那么 $$ \frac{d}{d\mathbf\theta}\mathbf P(\mathbf \theta)=e^{\theta\cdot\mathbf J}[\mathbf P,\mathbf J]e^{-\theta\cdot\mathbf J}=\mathbf P(\theta)\times\mathbf n $$ 因此 $$ \mathbf P(\mathbf \theta) = R(\mathbf \theta) \mathbf P $$ 其中 $R(\theta)$ 是旋转矩阵。到此，我们就算出来了任何操作下算符的变化。接下来计算操作下态矢的变化，我们（根据boost对动量算符的作用）知道 $$ e^{-i\mathbf v \cdot \mathbf K} \ket{\mathbf p} = \ket{\mathbf p + m\mathbf v} $$ 定义动量空间波函数 $\psi(\mathbf p) = \braket{\mathbf p | \psi}$ 则 $$ (e^{i\mathbf v \cdot \mathbf K} \psi)(\mathbf p) = \bra{\mathbf p} e^{i\mathbf v \cdot \mathbf K} \ket{\psi} = \braket{\mathbf p - m\mathbf v | \psi} = \psi(\mathbf p - m\mathbf v) $$ 而另一方面，对算符 $e^{i\mathbf v \cdot \mathbf K}$ 进行展开： $$ (e^{i\mathbf v \cdot \mathbf K} \psi)(\mathbf p) \approx (1 +i \mathbf v \cdot \mathbf K) \psi(\mathbf p) = \psi(\mathbf p) + i\mathbf v \cdot (\mathbf K \psi)(\mathbf p) $$ 因此 $$ \mathbf K = -im \nabla_{\mathbf p} $$ 同理，我们知道 $$ e^{-i\mathbf \theta \cdot \mathbf J} \ket{\mathbf p} = \ket{R(\theta)\mathbf p} $$ 而无穷小旋转 $$ \begin{align} (e^{i\delta \mathbf \theta \cdot \mathbf J} \psi)(\mathbf p) = \psi(R^{-1} \mathbf p) \approx \psi(\mathbf p - i\delta \mathbf \theta \times \mathbf p)\\ \approx \psi(\mathbf p) - i(\delta \mathbf \theta \times \mathbf p) \cdot \nabla_{\mathbf p} \psi(\mathbf p)=\psi(\mathbf p)- i\delta \mathbf \theta \cdot (\mathbf p \times \nabla_{\mathbf p}) \end{align} $$ 因此 $$ \mathbf J = -i (\mathbf p \times \nabla_{\mathbf p}) $$

2.7.2 位置算符与位置空间波函数

同样，我们以 $K$ 的本征矢量为基底能得到 $$ \mathbf Ke^{-i\mathbf x \cdot \mathbf P}\ket\psi=(\mathbf k-m\mathbf x)\ket\psi $$ 这也是个非平凡的结果！因为我们如果定义算符 $X=K/M$ 就有 $$ \mathbf Xe^{-i\mathbf x \cdot \mathbf P}\ket\psi=(\mathbf k/m-\mathbf x)\ket\psi $$ 而操作 $e^{-i\mathbf x \cdot \mathbf P}$ 的定义恰恰是改变位置 $\mathbf x$ ，而此时 $X$ 的本征值变化了 $\mathbf x$ ，这意味着它的本征值就是位置。因此我们定义 $X$ 为位置算符。因此同样，我们能自然定义位置空间波函数 $\psi(\mathbf x) = \braket{\mathbf x | \psi}$ 并且得到位置表象下的各个算符 $$ P=-i\nabla,H=-\frac{1}{2m}\nabla^2,J=i\mathbf x\times\nabla $$ 代入之前的推导这直接有位置空间薛定谔方程 $$ \frac{d}{dt}\psi(\mathbf x,t)=-\frac{1}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf x,t) $$ 我们得到了单自由粒子量子力学的全部内容。

2.7.3 势能？

很遗憾，如果不引入局部对称性，势能无法自然出现在单粒子量子力学中，我们必须人为引入新的哈密顿量 $H=\frac{P^2}{2m}+V(x)$ ，此时薛定谔方程 $$ \frac{d}{dt}\psi(\mathbf x,t)=\left[-\frac{1}{2m}\nabla^2+V(\mathbf x)\right]\psi(\mathbf x,t) $$ 局部对称性的问题我们将在庞加莱群表示论中得到解决，不过至少在人为引入势能后，我们得到了完整的单粒子量子力学。