量子力学学习笔记第一章：希尔伯特空间初步
（施工中）总目标是“追根溯源”地梳理起量子力学的知识。这一章有关希尔伯特空间的初步内容
此笔记旨在用我的个人理解复盘量子力学的知识体系，并非标准教科书，可能会有不少错误。 ~~傻逼hexo解析不了我的aligned😅~~ 以及可能需要关于拓扑空间、流形、矢量空间的一些基础知识。
第一章 希尔伯特空间初步
本章将从内积空间的定义一路理到狄拉克符号、算符等形式，我个人比较倾向于把概念的数学起源理顺，如果你了解这些可以不看。该部分主要参考梁灿彬老师《微分几何与广义相对论 中册》
1. 内积空间
此节内容会从内积空间开始，定义对偶空间、完备性等概念来建立希尔伯特空间
1.1 内积空间
1.1.1 内积空间的定义
定义内积空间 ：复矢量空间 $V$ 称为内积空间(inner product space) ，若存在内积映射 $(\cdot,\cdot):V\times V\to \mathbb{C}$ 对任意 $f,g,h\in V$ 和任意 $c\in \mathbb{C}$满足： $$ (a)\ (f,g+h)=(f,g)+(f,h); $$ $$ (b)\ (f,cg)=c(f,g); $$ $$ (c)\ (f,g)=\overline{(g,f)}; $$ $$ (d)\ (f,f)\ge0且(f,f)=0\Leftrightarrow f=0 $$
条件(a)(b)表明内积映射对第二槽的线性 ，加上(c)说明它对第一槽是共轭线性的
用此定义类比出实矢量空间的内积很像度规，事实上实空间的内积就是正定度规，但是因为条件(d)所以度规不一定是内积
1.1.2 距离的定义
定义距离 ：内积空间 $V$ 中的任意两元素 $f$ 和 $g$ 的距离定义为
$$
d(f,g):=\sqrt{(f-g,f-g)}
$$
也能定义出以 $f$ 为心、以 $r$ 为半径的开球
$$
B(f,r):=\{g\in V\ |\ d(g,f) 通常我们会$||f||=d(f,0)$ ，它叫做范数 内积空间 $V$ 的对偶空间（共轭空间）定义为
$$
V^{*}:=\{ \eta:V\to \mathbb{C}\ |\ \eta\ 为连续的线性映射\}
$$ 什么叫“连续的线性映射？”首先，线性就是加性（对于任意 $u, v \in V$，有 $T(u+v) = T(u) + T(v)$ ）和齐次性（对于任意 $v \in V$ 和任意标量 $c$，有 $T(cv) = cT(v)$），而在此基础上，根据定理对于两个赋范向量空间 $V$和 $W$ 之间的线性映射 $T: V \to W$，$T$ 是连续的、$T$ 在 $V$ 中的一点（例如零向量 $0_V$）是连续的、$T$ 是有界的三个条件互相等价（ 这里的“有界”是泛函分析中的有界 ） 从对偶空间的定义来说，对偶空间中的对偶矢量其实很像一个函数 ，它接受一个矢量空间中的元素，输出一个复数，因此它的另一种理解方式就是线性泛函 。 显然， $V^*$ 也可以看成复矢量空间，只需要定义加法
$$
(\eta_1+\eta_2)(f):=\eta_1(f)+\eta_2(f)
$$
和数乘
$$
(c\eta)(f):=c\ \cdot\ \eta(f)
$$
（回忆矢量空间与矢量的定义！） 有趣的事实是，微分几何中定义矢量来自流形中某一点的“切空间”，而显然这里谈论的矢量空间则是某种更广义的概念 ，事实上，矢量空间的定义先于具体的流形中的矢量，因为矢量空间只要求了加法和数乘（一个集合配两个映射）。但说实话我对这个定义是不够满意的，拓扑空间、集合、流形、群、矢量空间，这些概念中重复的地方太多，理应有更优美的描述语言。 一个重要的命题给出对偶空间与矢量空间的关系：内积映射 $(\cdot ,\cdot)$ 自然诱导出一个一一的、反线性的映射$v:V\to V^{*}$ 不难看出，有限维情况下 $v$ 一定到上，但是无限维情况则不一定到上。 这里来举一个经典的例子说明为什么无穷维不一定到上。考虑所有实数序列中只有有限个非零项的序列所构成的空间。定义内积空间为 $V$ ，并且对于 $x = (x_1, x_2, \dots)$ 和 $y = (y_1, y_2, \dots)$，内积为：$(x, y) = \sum_{i=1}^{\infty} x_i y_i$ 构造一个线性泛函 $f: V \to \mathbb{R}$，它的规则如下：$f(x) = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{x_i}{i} = x_1 + \frac{x_2}{2} + \frac{x_3}{3} + \dots$ 这个 $f$ 是一个完全合法的线性泛函（属于 $V^*$），但显然，如果 $f(x)=(x,y)$ 那么 $y = (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots)$ 显然不属于内积空间，这说明从矢量空间到对偶空间的映射并不是到上的，但是后面我们会发现这两个” 最多差一层皮 ”（有限个非零项->无限个非零项😋） 设 $V$ 为内积空间，$f\in V,\{f_n\}$ 是其中一个序列。我们说 $\{f_n\}$ 收敛于 $f$ 若
$$
\lim_{n\to \infty}d(f,f_n)=0
$$
称 $f$ 为序列 $\{f_n\}$ 的极限 。 $V$ 中的序列 $\{f_n\}$ 称为柯西序列，若对任意 $\varepsilon>0$ 存在 $N>0,$ 使得 $n,m\ge N\Rightarrow d(f_n,f_m)<\varepsilon$
可以证明,收敛的序列一定是柯西序列,但反之不然 。 举例：考虑半开区间 $(0, 1]$ 作为矢量空间，距离定义为通常的实数距离 $|x - y|$，我们来看一个序列 $x_n = 1/n$，其中 $n$ 是正整数。它所有项都在 $(0, 1]$ 内，并且是柯西序列，但它不收敛，因为收敛点在区间外。显然这个点就是上面说的“ 一层皮 ” 内积空间V称为完备的,若其中任一柯西序列收敛
可以证明,对任何不完备内积空间 $V$ ,总可找到完备的内积空间 $\tilde{V}$ （只需要把所有的极限都放进去） 完备的内积空间叫希尔伯特空间 ，记作 $\mathscr{H}$ 我们常记$C[a,b]=\{[a,b]\subset \mathbb{R}上连续复变函数f(x)\}$，内积$(f,g)=\int_a^b\overline{f(x)}g(x)dx$ ，它显然不完备；但如果把所有不连续但是平方可积的复值函数都包含进去就变成了$L^2[a,b]$ ，它则是完备的内积空间。同样能定义出$L^2[\mathbb{R}^n]$ 本节将给出希尔伯特空间中基底与算符的概念，这将让我们能更好地体会到从上面的抽象理论向狄拉克符号的过渡。 我们重点研究正交归一基。 $\mathscr{H}$ 的有限子集$\{f_1,...,f_N\}$称为线性独立的,若
$$
\sum_{n=1}^{N}c_nf_n=0\Rightarrow c_n=0,n=1,...,N
$$
而任意子集称为线性独立若其任意非空有限子集线性独立（任意局部都线性独立）
和普通线性代数定义基本一致。 $\mathscr{H}$ 中存在满足以下两条件的无限序列$\{e_n\}$
- 本身线性独立
- $\mathscr{H}$ 中任意元素可由其线性表出
就说构成基底。 一般来说我们会假装物理可观测量的全套本征态就能构成基底（其实是个公设）（事实上数学上有行为良好的厄米算符也就是可观测量算符的本征矢量能张成完备基） 先定义$\mathscr{H}$ 中正交归一序列 ：$\{f_n\}$ 叫正交归一序列若
$$
(f_m,f_n)=\delta_{mn}
$$
不难证明 $\mathscr{H}$ 中任一正交归一序列都线性独立，但这里有一个是否已把元素“选够”的问题，也就是下面的完备性 $\mathscr{H}$ 中正交归一序列 $\{f_n\}$ 叫完备的，若 $\mathscr{H}$ 中除零元外不存在与每个 $f_n$ 都正交的元素（不能加入新元素让它“更大”）。 事实上我们有公设对于任何物理可观测量 $A$，存在一个对应的自伴算符 $A^{\dagger}$。这个算符的本征函数构成一个完备的正交归一基底（在离散谱情况下），或者说它们是完备的且可以用于展开任何态函数（在连续谱情况下，需要更严谨的处理，如广义本征函数）。 映射$A:\mathscr{H}\to\mathscr{H}$ 称为$\mathscr{H}$上的算符，结果记为 $Af$ ，而线性算符意味着
$$
A(c_1f_1+c_2f_2)=c_1Af_1+c_2Af_2
$$
并且若 $Af=Bf$ 则称两算符相等
全体线性算符的集合显然也构成矢量空间，只需要自然定义加法和数乘。
算符分为有界算符和无界算符，我们下面先讨论有界算符。 $\mathscr{H}$ 上的一个线性算符A自然诱导出一个对偶空间上的线性算符 $A^{ * }$ $$
(A^ { * } \eta)(f):=\eta(Af),f\in \mathscr{H},\eta\in\mathscr{H}
$$ 这样定义出的线性算符 $A^{ * }$ 显然是在另一个希尔伯特空间上的，要把它变回来，就还要一个额外的线性算符 $A^{\dagger}$ ，而利用之前内积自然诱导出的一一到上反线性映射 $v:V\to V^{ * }$ 不难看出这个算符： $$
A^{\dagger}:=v^{-1}A^{ * }v
$$ （如果你没太看懂，或许左右两边同时左乘一个 $f$ 就解决了）
这就是伴随算符的定义。我们能进一步得到定理
$$
(f,Ag)=(A^{\dagger}f,g)
$$
又从这不难看出，算符与伴随算符的对应关系是反线性的。更不难看出，$A^{\dagger\dagger}=A$ （有界）线性算符称为自伴的或厄密的，若它的伴随算符还是它本身。 对无界算符,自伴性强于厄米性 在狄拉克符号里，对每一 $f\in \mathscr{H}$ 记作 $\ket{ \ f\ }$ 称作右矢 （态矢），表示物理态（观测对象） ，每一 $\eta\in \mathscr{H^{ * }}$ 记作$\bra{ \ \eta\ }$称作左矢，内积就叫 $\langle \eta|f\rangle$
一个小推论：
$$
A\ket{\psi}\Leftrightarrow\bra{\psi}A^{\dagger}
$$
有时我们会写
$$
\langle A\rangle:=\langle\psi|A|\psi\rangle
$$
同样的，我们能定义狄拉克符号的基矢。这里特别给出一个单位算符
$$
I=\sum_{\alpha}\ket{\alpha}\bra{\alpha}
$$
它能把我们抽象的态矢$\ket{\psi}$展开为
$$
\ket{\psi}=I\ket{\psi}=\sum_{\alpha}\ket{\alpha}\langle\alpha\ket{\psi}=\sum_{\alpha}\langle\alpha\ket{\psi}\ket{\alpha}
$$
很漂亮的基矢展开。能这么做是因为我们的正交归一基矢能展开右矢，不正交就是0正交就是1
同理，我们还能把算符展开
$$
A=\sum_{\alpha'}\sum_{\alpha''}\ket{\alpha'}\bra{\alpha'}A\ket{\alpha''}\bra{\alpha''}
$$
一个漂亮的矩阵。在这种情况下，不难证明伴随算符就是算符矩阵的转置+共轭。
随后，我们再来给一个无伤大雅的新定义，幺正算符或酉算符 $U$，它是那些满足
$$
UU^{\dagger}=1
$$
的算符。 我们来谈谈之前的小漏洞无界算符 。这个漏洞之所以重要，是因为量子力学中位置算符、动量算符等都是无界的。 首先要精确定义什么是有界算符 。一个线性算符 $A$ 是有界的，如果存在一个常数 $M \ge 0$ ，使得对于所有 $f \in \mathscr{H}$ ，都有：
$$
\|Af\| \le M\|f\|
$$
如果不存在这样的常数 $M$，那么算符 $A$ 就被称为无界算符 。
可以证明，一个在整个希尔伯特空间 $\mathscr{H}$ 上都有定义的自伴算符必然是有界的（有界算符的定义域总可延拓至整个希尔伯特空间）。这反过来告诉我们，我们感兴趣的无界算符，其定义域不可能是整个 $\mathscr{H}$ 。 例如，动量算符的定义域就不是全希尔伯特空间，因为不是每个平方可积函数都可导。 对于无界算符 $A$，我们不能假设它可以作用于空间中的每一个向量。它只能作用在一个子集上，我们称之为 $A$ 的定义域，记作 $D(A)$。
为了让理论有良好性质，我们通常要求定义域 $D(A)$ 是 $\mathscr{H}$ 的一个稠密线性子空间。 在一维空间中，动量算符 $P = -i\hbar \frac{d}{dx}$ 作用在 $L^2(\mathbb{R})$ 空间上。我们不能对任意一个平方可积函数求导，因此 $D(P)$ 不能是整个 $L^2(\mathbb{R})$。一个合适的定义域是施瓦茨空间或索伯列夫空间 $H^1(\mathbb{R})$，它们都是 $L^2(\mathbb{R})$ 中的稠密子空间。 当算符 $A$ 的定义域 $D(A)$ 不再是全空间时，其伴随算符 $A^\dagger$ 的定义需要更加小心。 $A^\dagger$ 的定义域 $D(A^\dagger)$ 由所有满足以下条件的向量 $g \in \mathscr{H}$ 构成：存在一个唯一的向量 $h \in \mathscr{H}$，使得对于所有的 $f \in D(A)$，都有
$$
\langle Af, g \rangle = \langle f, h \rangle
$$
如果这样的 $g$ 存在，我们就定义 $A^\dagger g = h$。 $D(A^\dagger)$ 的构造完全依赖于 $D(A)$。在无界算符的情况下，$D(A)$ 和 $D(A^\dagger)$ 可能完全不同 。这正是“自伴”和“厄米”两个概念产生分歧的根源。 现在我们可以精确地定义这两个在无界情况下有显著区别的概念了。设 $A$ 是一个定义在稠密子空间 $D(A)$ 上的算符。 厄米算符
如果对于所有 $f, g \in D(A)$，都有 $\langle Af, g \rangle = \langle f, Ag \rangle$，则称 $A$ 是对称的或厄米的。
用伴随算符的语言来说，这等价于 $A \subseteq A^\dagger$。这意味着： 自伴算符
如果 $A=A^\dagger$，则称 $A$ 是自伴的。这是一个更强的条件，它要求： 考虑希尔伯特空间 $L^2([0, 1])$，算符 $A = -i\frac{d}{dx}$。
1. 如果我们取定义域为 $D(A_1) = \{f \in H^1([0,1]) \mid f(0)=f(1)=0\}$。通过分部积分可以验证，$A_1$ 是一个厄米算符。但计算其伴随算符会发现，$D(A_1^\dagger)$ 没有任何边界条件限制，因此 $D(A_1) \subsetneq D(A_1^\dagger)$。所以 $A_1$ 不是自伴的。
2. 如果我们改变定义域为 $D(A_2) = \{f \in H^1([0,1]) \mid f(0)=f(1)\}$ (周期性边界条件)。可以证明，在这种定义域下，$D(A_2) = D(A_2^\dagger)$。因此，$A_2$ 不仅是厄米的，还是一个自伴算符。$A_2$ 就是 $A_1$ 的一个自伴扩张。 其实这些都涉及到泛函分析中的谱理论了，这里暂时不多做分析~~，或许以后我会补上~~。 作为本节的末尾和下一章的开始，同时也是强大数学工具的直接应用，可以尝试证明一个极其重要的关系：不确定性关系
$$
\langle(\Delta A)^2\rangle\langle(\Delta B)^2\rangle\ge\frac{1}{4}|\langle[A,B]\rangle|^2
$$
其中$\Delta A=A-\langle A\rangle$ 它的推理如下：
$\langle(\Delta A)^2\rangle\langle(\Delta B)^2\rangle\ge|\langle\Delta A\Delta B\rangle|^2=$
$|\langle\frac{1}{2}(\Delta A \Delta B + \Delta B \Delta A) + \frac{1}{2}(\Delta A \Delta B - \Delta B \Delta A)\rangle|^2$
$\ge\left|\frac{1}{2}\langle[\Delta A, \Delta B]\rangle\right|^2 = \frac{1}{4}|\langle[\Delta A, \Delta B]\rangle|^2$
1.2 对偶空间
1.2.1 对偶空间的定义
1.2.2 对偶空间与矢量空间
1.3 内积空间的完备性与希尔伯特空间
1.3.1 序列极限
1.3.2 柯西序列
1.3.3 完备性
1.3.4 希尔伯特空间
2. 基底与算符
2.1 基底
2.1.1 线性独立
2.1.2 基底
2.1.3 正交归一基底
2.1.4 正交归一序列的完备性
2.2 算符
2.2.1 算符的定义
2.2.2 对偶算符
2.2.3 自伴算符
3. 狄拉克符号
4. 无界算符
4.1 有界与无界
4.2 定义域
4.3 伴随算符的重新审视
4.4 厄米算符
4.5 一个关键例子
最后